Функция Хаара

Функция Хаара — кусочно-постоянная функция. Определяется на интервале [ 0 , 1 ) {displaystyle left[0,1 ight)} . Последовательность функций Хаара образует ортогональную систему. Впервые была построена Альфредом Хааром. Любую функцию, интегрируемую по Лебегу на интервале [ 0 , 1 ) {displaystyle left[0,1 ight)} , можно разложить в ряд по функциям Хаара, аналогичный разложению в ряд Фурье: f ( x ) ∼ c 0 χ 0 ( 0 ) ( x ) + ∑ m = 0 ∞ ∑ k = 1 2 m c m ( k ) χ m ( k ) ( x ) {displaystyle f(x)sim c_{0}chi _{0}^{(0)}(x)+sum _{m=0}^{infty }sum _{k=1}^{2m}c_{m}^{(k)}chi _{m}^{(k)}(x)} .

Определение

Две первые функции Хаара определены так:

χ 0 ( 0 ) ( x ) = 1 {displaystyle chi _{0}^{(0)}(x)=1} χ 0 ( 1 ) ( x ) = { 1 , x ∈ [ 0 , 1 2 ) 0 , x = 1 2 − 1 , x ∈ ( 1 2 , 1 ] {displaystyle chi _{0}^{(1)}(x)={egin{cases}1,xin left[0,{frac {1}{2}} ight),x={frac {1}{2}}-1,xin left({frac {1}{2}},1 ight]end{cases}}}

Другие функции Хаара определены для всех натуральных m ⩾ 1 , 1 ⩽ k ⩽ 2 m {displaystyle mgeqslant 1,1leqslant kleqslant 2^{m}} :

χ m ( k ) ( x ) = { 2 m , x ∈ ( k − 1 2 m , k − 1 2 2 m ) − 2 m , x ∈ ( k − 1 2 2 m , k 2 m ) 0 , x ∈ ( l − 1 2 m , l 2 m ) {displaystyle chi _{m}^{(k)}(x)={egin{cases}{sqrt {2^{m}}},xin left({frac {k-1}{2^{m}}},{frac {k-{frac {1}{2}}}{2^{m}}} ight)-{sqrt {2^{m}}},xin left({frac {k-{frac {1}{2}}}{2^{m}}},{frac {k}{2^{m}}} ight),xin left({frac {l-1}{2^{m}}},{frac {l}{2^{m}}} ight)end{cases}}}

Здесь: l ≠ k , 1 ⩽ l ⩽ 2 m {displaystyle l eq k,1leqslant lleqslant 2^{m}} .

Свойства

• Совокупность функций Хаара является ортнормированной системой.
• Для функции, интегрируемой по Лебегу, разложение Хаара сходится к этой функции почти всюду.
• Разложение Хаара для функции сходится к этой функции в каждой точке непрерывности этой функции и равномерно сходится на каждом интервале, на котором функция равномерно непрерывна.