Периодическое состояние

Периодическое состояние — это такое состояние цепи Маркова, которое навещается цепью только через промежутки времени, кратные фиксированному числу.

Период состояния

Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем { X n } n ≥ 0 {displaystyle {X_{n}}_{ngeq 0}} с матрицей переходных вероятностей P {displaystyle P} . В частности, для любого n ∈ N {displaystyle nin mathbb {N} } , матрица P n = ( p i j ( n ) ) {displaystyle P^{n}=left(p_{ij}^{(n)} ight)} является матрицей переходных вероятностей за n {displaystyle n} шагов. Рассмотрим последовательность p j j ( n ) , n ∈ N {displaystyle p_{jj}^{(n)},,nin mathbb {N} } . Число

d ( j ) = gcd ( n ∈ N ∣ p j j ( n ) > 0 ) {displaystyle d(j)=gcd left(nin mathbb {N} mid p_{jj}^{(n)}>0 ight)} ,

где gcd {displaystyle gcd } обозначает наибольший общий делитель, называется периодом состояния j {displaystyle j} .

Замечание

Таким образом, период состояния j {displaystyle j} равен d ( j ) {displaystyle d(j)} , если из того, что p j j ( n ) > 0 {displaystyle p_{jj}^{(n)}>0} , следует, что n {displaystyle n} делится на d ( j ) {displaystyle d(j)} .

Периодические состояния и цепи

• Если d ( j ) > 1 {displaystyle d(j)>1} , то состояние j {displaystyle j} называется периодическим. Если d ( j ) = 1 {displaystyle d(j)=1} , то состояние j {displaystyle j} называется апериодическим.

• Периоды сообщающихся состояний совпадают:

( i ↔ j ) ⇒ ( d ( i ) = d ( j ) ) {displaystyle (ileftrightarrow j)Rightarrow (d(i)=d(j))} .

Таким образом период любого неразложимого класса цепи Маркова определён и равен периоду любого своего представителя. Соответственно, классы делятся на периодические и апериодические.

• Если цепь Маркова неразложима, то периоды всех её состояний совпадают и принимаемое ими общее значение называется периодом цепи. Цепь называется периодической, если её период больше единицы, и апериодической в противном случае.