Метод Куммера

Метод Куммера — в теории числовых рядов способ, позволяющий заменить заданный ряд другим, сходящимся быстрее, предложен Э. Куммером.

Предположим, что имеется сходящийся числовой ряд a k {displaystyle a_{k}} и требуется найти его сумму с заданной точностью. Для увеличения скорости сходимости этого ряда применяется метод Куммера, который состоит в следующем. Подбирается ряд b k {displaystyle b_{k}} с известной суммой такой, чтобы разность

c k = a k − b k = o ( a k ) , k → ∞ {displaystyle c_{k}=a_{k}-b_{k}=o,(a_{k}),;k o infty }

В этом случае величину S = ∑ k = 0 ∞ a k {displaystyle S=sum _{k=0}^{infty }a_{k}} можно представить в виде суммы S = ∑ k = 0 ∞ b k + ∑ k = 0 ∞ c k {displaystyle S=sum _{k=0}^{infty }b_{k}+sum _{k=0}^{infty }c_{k}} где ряд c k {displaystyle c_{k}} сходится быстрее, чем исходный ряд, а сумма ряда b k {displaystyle b_{k}} — известна. Это означает, что для получения суммы ряда с заданной точностью во втором случае нужно взять меньшее количество членов ряда c k {displaystyle c_{k}} .

Например, для повышения скорости сходимости ряда

∑ k = 1 ∞ 1 k 2 {displaystyle sum _{k=1}^{infty }{ frac {1}{k^{2}}}}

можно воспользоваться рядом

∑ k = 1 ∞ 1 k ( k + 1 ) = ∑ k = 1 ∞ ( 1 k − 1 k + 1 ) = 1 {displaystyle sum _{k=1}^{infty }{ frac {1}{k(k+1)}}=sum _{k=1}^{infty }left({ frac {1}{k}}-{ frac {1}{k+1}} ight)=1} ,

сумма которого известна, и записать

∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = 1 + ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 ( k + 1 ) {displaystyle sum _{k=1}^{infty }{ frac {1}{k^{2}}}=1+sum limits _{k=1}^{infty }{ frac {1}{k^{2}(k+1)}}} .

Преобразование Куммера можно применять не ко всем членам исходного ряда, а только к членам ряда, начиная с некоторого места. В этом случае несколько членов исходного ряда остаются без изменения.