Распределение Бозе — Эйнштейна

Распределение Бозе — Эйнштейна — функция, описывающая распределение по уровням энергии тождественных частиц с нулевым или целочисленным спином (такие частицы называются бозонами) при условии, что взаимодействие частиц в системе слабое и им можно пренебречь (функция распределения идеального квантового газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна). В случае статистического равновесия среднее число n ¯ i {displaystyle {ar {n}}_{i}} таких частиц в состоянии с энергией ϵ i {displaystyle epsilon _{i}} (выше температуры вырождения) определяется распределением Бозе — Эйнштейна:

n ¯ i = 1 e ( ϵ i − μ ) / k T − 1 , {displaystyle {ar {n}}_{i}={frac {1}{e^{(epsilon _{i}-mu )/kT}-1}},}

где i — набор квантовых чисел, характеризующих состояние частицы, k — постоянная Больцмана, μ — химический потенциал.

Отметим, что химический потенциал для Бозе-газа принимает отрицательные и большие по модулю значения.

Функцией Бозе-Эйнштейна задаются числа заполнения квантовых состояний с различными энергиями. Сумма по дискретному или интеграл по непрерывному спектру даст полное число частиц в газе:

N = ∑ k 1 e ( ϵ k − μ ) / T − 1 {displaystyle N=sum _{k}{frac {1}{e^{(epsilon _{k}-mu )/T}-1}}} .

С использованием функции Бозе-Эйнштейна, с введением соответствующих нормировок, выводятся и формулы распределения по энергии и импульсу.

Свойства статистики Бозе-Эйнштейна

Функция Бозе-Эйнштейна обладает следующими свойствами:

• безразмерна;
• принимает вещественные значения в диапазоне от 0 до ∞;
• убывает с ростом энергии.

В отличие от Ферми-газа, Бозе-газ при абсолютном нуле температуры обладает наименьшей энергией, равной нулю. То есть все частицы находятся в квантовом состоянии с ε=0 и формируют так называемый Бозе-конденсат.

Применение статистики Бозе-Эйнштейна

Статистика Бозе-Эйнштейна находит применение при изучении сверхтекучести.

Также, существуют гипотезы о существовании так называемых Бозонных звезд, вероятных кандидатов в составляющие темной материи.

Бозе-конденсат

Бозе-конденсат - это особое состояние Бозе-газа (Конденсат Бозе — Эйнштейна) при нулевой температуре, когда большое число частиц находится в состоянии с минимальной энергией (ε=0). В таком случае квантовые эффекты проявляются на макроскопическом уровне (см. сверхтекучесть).

Классический (Максвелловский) предел

При высокой температуре функция Бозе-Эйнштейна переходит в функцию Максвелла-Больцмана, то есть распределение Бозе сменяется классическим распределением Максвелла-Больцмана.

Вариации и обобщение

• Если в отрицательном биномиальном распределении параметр r - целое число, последнее распределение становится обобщенным распределением Бозе-Эйнштейна .
• Если в отрицательном биномиальном распределении параметр r=1, то отрицательное биномиальное распределение становится геометрическим распределением. Последнее распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source) .