Ассоциированное семейство

Ассоциированное семейство (или семейство Бонне) минимальной поверхности - является однопараметрическим семейством минимальных поверхностей, которые разделяют те же данные Вейерштрасса. То есть, если поверхность имеет представление

x k ( ζ ) = ℜ { ∫ 0 ζ φ k ( z ) d z } + c k , k = 1 , 2 , 3 {displaystyle x_{k}(zeta )=Re left{int _{0}^{zeta }varphi _{k}(z),dz ight}+c_{k},qquad k=1,2,3}

семейство описывается формулой

x k ( ζ , θ ) = ℜ { e i θ ∫ 0 ζ φ k ( z ) d z } + c k , θ ∈ [ 0 , 2 π ] {displaystyle x_{k}(zeta , heta )=Re left{e^{i heta }int _{0}^{zeta }varphi _{k}(z),dz ight}+c_{k},qquad heta in [0,2pi ]}

При θ = π / 2 {displaystyle heta =pi /2} поверхность называется сопряжённой поверхности θ = 0 {displaystyle heta =0} .

Преобразование можно рассматривать как локальное вращение направлений главной кривизны. Нормали поверхности точки с фиксированным ζ {displaystyle zeta } остаются неизменными при изменении θ {displaystyle heta } . Сама точка движется по эллипсу .

Некоторые примеры ассоциированных семейств поверхностей: семейства катеноидов и геликоидов, семейства Шварца P, Шварца D и гироидов, а также семейства первой и второй поверхностей Шерка. Поверхность Эннепера сопряжена с собой — она остаётся неизменной при изменении θ {displaystyle heta } .

Сопряжённые поверхности имеют следующее свойство: любая прямая на поверхности отражается в планарную геодезическую линию на сопряжённой поверхности и наоборот. Если кусок поверхности ограничен прямой, то сопряжённый кусок ограничен плоской линией симметрии. Это полезно при построении минимальных поверхностей путём перехода в сопряжённое пространство: ограничение плоскостями эквивалентно ограничению многоугольником.

Имеются аналоги ассоциированным семействам минимальных поверхностей в пространствах более высокой размерности и для многообразий.