Медиана треугольника

Медиана треугольника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, противоположной этой вершине. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок, а иногда длину этого отрезка. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Если A B C {displaystyle ABC} ― треугольник, и a = B C {displaystyle a=BC} , b = A C {displaystyle b=AC} , c = A B {displaystyle c=AB} ― длины сторон (или просто стороны), то медианы, проведённые соответственно из вершин A {displaystyle A} , B {displaystyle B} , C {displaystyle C} к сторонам a {displaystyle a} , b {displaystyle b} , c {displaystyle c} , обычно обозначаются m a {displaystyle m_{a}} , m b {displaystyle m_{b}} и m c {displaystyle m_{c}} .

Связанные определения

Точка пересечения медиан делит каждую медиану на два отрезка. Отрезок от вершины до точки пересечения называется предмедианой, а отрезок от точки пересечения до противоположной стороны постмедианой. В частности можно сказать, что в любом треугольнике отношение предмедианы к постмедиане равно двум.

Свойства

Основное свойство

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой. Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.

У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Если медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, пересекаются под прямым углом, то косинусы углов при основании этого треугольника равны 1 10 {displaystyle {dfrac {1}{sqrt {10}}}} , а косинус противоположного основанию угла равен 4 5 {displaystyle {dfrac {4}{5}}} .

Свойства оснований медиан

• Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
• Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
  • Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
• Теркем доказал теорему Теркема. Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

Другие свойства

• Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
• Медиана делит пополам любой отрезок, параллельный стороне, к которой проведена эта медиана.
• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Центры описанных окружностей этих шести треугольников лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
• Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
• Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
• Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
• Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.

• Трилинейная поляра центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).

Основные соотношения

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

m a = 1 2 2 b 2 + 2 c 2 − a 2 , {displaystyle m_{a}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}},} m b = 1 2 2 a 2 + 2 c 2 − b 2 , {displaystyle m_{b}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}},} m c = 1 2 2 a 2 + 2 b 2 − c 2 , {displaystyle m_{c}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}},} где m a ,   m b ,   m c {displaystyle m_{a}, m_{b}, m_{c}} — медианы к сторонам треугольника a ,   b ,   c {displaystyle a, b, c} соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) {displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})} .

Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

a = 2 3 − m a 2 + 2 m b 2 + 2 m c 2 = 2 ( b 2 + c 2 ) − 4 m a 2 = b 2 2 − c 2 + 2 m b 2 = c 2 2 − b 2 + 2 m c 2 , {displaystyle a={frac {2}{3}}{sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={sqrt {{frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={sqrt {{frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},} b = 2 3 − m b 2 + 2 m a 2 + 2 m c 2 = 2 ( a 2 + c 2 ) − 4 m b 2 = a 2 2 − c 2 + 2 m a 2 = c 2 2 − a 2 + 2 m c 2 , {displaystyle b={frac {2}{3}}{sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={sqrt {{frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={sqrt {{frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},} c = 2 3 − m c 2 + 2 m b 2 + 2 m a 2 = 2 ( b 2 + a 2 ) − 4 m c 2 = b 2 2 − a 2 + 2 m b 2 = a 2 2 − b 2 + 2 m a 2 , {displaystyle c={frac {2}{3}}{sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={sqrt {{frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={sqrt {{frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}},} где m a , m b , m c {displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}} — медианы к соответствующим сторонам треугольника, a , b , c {displaystyle a,b,c} — стороны треугольника.

Площадь S {displaystyle S} любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

S = 4 3 σ ( σ − m a ) ( σ − m b ) ( σ − m c ) , {displaystyle S={frac {4}{3}}{sqrt {sigma (sigma -m_{a})(sigma -m_{b})(sigma -m_{c})}},} где σ = ( m a + m b + m c ) / 2 {displaystyle sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2} — полусумма длин медиан.

Вариации и обобщение

• Чевиана — отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.