Теорема Коши о многогранниках

Теорема Коши о многогранниках утверждает, что грани многогранника вместе с правилом склейки полностью определяют выпуклый многогранник.

Формулировка

Два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если между их гранями, рёбрами и вершинами имеется сохраняющее инцидентность взаимно однозначное соответствие, причём соответствующие грани многогранников конгруэнтны.

История

Вопрос о том, что грани многогранника вместе с правилами склейки полностью определяют выпуклый многогранник был сформулирован Лежандром в 1-м издании его учебника. Там же была дана ключевая лемма о четырёх переменах знаков, которая использовалась Коши в его доказательстве. Это доказательство содержало ошибку, которая была замечена Штейницем и исправлена только в 1934 году.

Вариации и обобщения

• Аналогичный результат верен в пространствах всех размерностей начиная с 3.

• Для невыпуклых многогранников аналогичный результат неверен.
  • Более того, существует невыпуклый многогранник, который допускает непрерывные деформации в классе многогранников с конгруэнтными гранями. Такой многогранник называется изгибаемым. Однако, согласно теореме Сабитова, объём такого многогранника в процессе деформаций будет оставаться неизменным.

• Согласно теореме Александрова о развёртке, условие конгруэнтности граней можно ослабить до условия изометричности внутренней метрики поверхности многогранника.
  • Более того, то же верно для любой замкнутой выпуклой поверхности (теорема Погорелова).