CW-комплекс

CW-комплекс — тип топологического пространства с дополнительной структурой (разбиением на клетки), введённый Уайтхедом для удовлетворения нужд теории гомотопий. В литературе на русском языке употребляются также названия клеточное пространство, клеточное разбиение и клеточный комплекс. Класс клеточных комплексов является более широким, чем класс симплициальных комплексов, но в то же время сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет производить эффективные вычисления.

Определения

Открытая n-мерная клетка — топологическое пространство, гомеоморфное открытому n-мерному шару (в частности, нульмерная клетка — это пространство-синглетон). CW-комплекс — хаусдорфово топологическое пространство X, представленное в виде объединения открытых клеток таким образом, что для каждой открытой n-мерной клетки существует непрерывное отображение f из замкнутого n-мерного шара в X, ограничение которого на внутренность шара является гомеоморфизмом на эту клетку (характеристическое отображение). При этом предполагаются выполненными два свойства:

• (С) Граница каждой клетки содержится в объединении конечного числа клеток меньших размерностей;
• (W) Подмножество пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с замыканием каждой клетки.

Обозначения C и W происходят от английских слов closure-finiteness и weak topology.

Размерность клеточного комплекса определяется как верхняя грань размерностей его клеток. n-й остов клеточного комплекса — это объединение всех его клеток, размерность которых не превосходит n, стандартные обозначения для n-го остова клеточного комплекса X — Xn или skn X. Подмножество клеточного комплекса называется подкомплексом, если оно замкнуто и состоит из целых клеток; В частности, любой остов комплекса является его подкомплексом.

Любой CW-комплекс можно построить индуктивно, посредством следующей процедуры:

• начинаем с дискретного множества X 0 {displaystyle X^{0}} , точки которого считаем нульмерными клетками;
• по индукции образуем n-й остов из (n − 1)-го, приклеивая к нему n-мерные клетки посредством произвольных непрерывных отображений φ α : S n − 1 → X n − 1 . {displaystyle varphi _{alpha }:S^{n-1} o X^{n-1}.} Другими словами, пространство X n {displaystyle X^{n}} — это факторпространство несвязного объединения X n − 1 {displaystyle X^{n-1}} и набора шаров D α {displaystyle D_{alpha }} по отношению эквивалентности x ∼ φ α ( x ) , {displaystyle xsim varphi _{alpha }(x),} если x ∈ ∂ D α . {displaystyle xin partial D_{alpha }.}
• Можно закончить индуктивный процесс на конечном этапе, положив X = X n , {displaystyle X=X^{n},} либо продолжать его бесконечно, положив X = lim → ⁡ X i {displaystyle X=varinjlim X_{i}} . Топология прямого предела совпадает со слабой топологией: подмножество lim → ⁡ X i {displaystyle varinjlim X_{i}} замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с каждым X i . {displaystyle X_{i}.}

Примеры

• Пространство { r e 2 π i θ : 0 ≤ r ≤ 1 , θ ∈ Q } ⊂ C {displaystyle {re^{2pi i heta }:0leq rleq 1, heta in mathbb {Q} }subset mathbb {C} } гомотопически эквивалентно CW-комплексу (так как оно стягиваемо), но на нём невозможно ввести структуру CW-комплекса (поскольку все CW-комплексы являются локально стягиваемыми).
• Гавайская серьга — пример топологического пространства, гомотопически не эквивалентного никакому CW-комплексу.
• Любой многогранник естественным образом наделяется структурой CW-комплекса, а граф — одномерного CW-комплекса.
• n-мерная сфера допускает клеточную структуру с одной нульмерной клеткой и одной n-мерной клеткой (так как n-мерная сфера гомеоморфна факторпространству n-мерного шара по его границе). Другое клеточное разбиение использует тот факт, что вложение «экватора» S n − 1 → S n {displaystyle S^{n-1} o S^{n}} делит сферу на две n-мерных клетки (верхнюю и нижнюю полусферы). По индукции, это позволяет получить клеточное разбиение n-мерной сферы с двумя клетками в каждой размерности от 0 до n, а применение конструкции прямого предела позволяет получить клеточное разбиение сферы S ∞ {displaystyle S^{infty }} .
• Вещественное проективное пространство R P n {displaystyle mathbb {R} mathrm {P} ^{n}} допускает клеточную структуру с одной клеткой в каждой размерности, а C P n {displaystyle mathbb {C} mathrm {P} ^{n}} — с одной клеткой в каждой чётной размерности.
• Грассманиан допускает разбиение на клетки, называемые клетками Шуберта.
• Для любого компактного гладкого многообразия можно построить гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс (например, с помощью функции Морса).

Клеточные гомологии

Сингулярные гомологии CW-комплекса можно вычислять с помощью клеточных гомологий, то есть гомологий клеточного цепного комплекса

⋯ → H n + 1 ( X n + 1 , X n ) → H n ( X n , X n − 1 ) → H n − 1 ( X n − 1 , X n − 2 ) → ⋯ , {displaystyle cdots o {H_{n+1}}(X^{n+1},X^{n}) o {H_{n}}(X^{n},X^{n-1}) o {H_{n-1}}(X^{n-1},X^{n-2}) o cdots ,}

где X − 1 {displaystyle X^{-1}} определяется как пустое множество.

Группа H n ( X n , X n − 1 ) {displaystyle {H_{n}}(X^{n},X^{n-1})} является свободной абелевой группой, образующие которой могут быть отождествлены с ориентированными n-мерными клетками CW-комплекса. Граничные отображения строятся следующим образом. Пусть e n α {displaystyle e_{n}^{alpha }} — произвольная n-мерная клетка X , {displaystyle X,} χ n α : ∂ e n α ≅ S n − 1 → X n − 1 {displaystyle chi _{n}^{alpha }:partial e_{n}^{alpha }cong S^{n-1} o X^{n-1}} — ограничение её характеристического отображения на границу, а e n − 1 β {displaystyle e_{n-1}^{eta }} — произвольная (n − 1)-мерная клетка. Рассмотрим композицию

χ n α β : S n − 1 ⟶ ≅ ∂ e n α ⟶ χ n α X n − 1 ⟶ q X n − 1 / ( X n − 1 ∖ e n − 1 β ) ⟶ ≅ S n − 1 , {displaystyle chi _{n}^{alpha eta }:S^{n-1},{stackrel {cong }{longrightarrow }},partial e_{n}^{alpha },{stackrel {chi _{n}^{alpha }}{longrightarrow }},X^{n-1},{stackrel {q}{longrightarrow }},X^{n-1}/left(X^{n-1}setminus e_{n-1}^{eta } ight),{stackrel {cong }{longrightarrow }},S^{n-1},}

где первое отображение отождествляет S n − 1 {displaystyle S^{n-1}} с ∂ e n α , {displaystyle partial e_{n}^{alpha },} отображение q {displaystyle q} — факторизация, а последнее отображение отождествляет X n − 1 / ( X n − 1 ∖ e n − 1 β ) {displaystyle X^{n-1}/left(X^{n-1}setminus e_{n-1}^{eta } ight)} с S n − 1 {displaystyle S^{n-1}} при помощи характеристического отображения клетки e n − 1 β {displaystyle e_{n-1}^{eta }} . Тогда граничное отображение

d n : H n ( X n , X n − 1 ) → H n − 1 ( X n − 1 , X n − 2 ) {displaystyle d_{n}:{H_{n}}(X_{n},X_{n-1}) o {H_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}

задаётся формулой

d n ( e n α ) = ∑ β deg ⁡ ( χ n α β ) e n − 1 β , {displaystyle {d_{n}}(e_{n}^{alpha })=sum _{eta }deg left(chi _{n}^{alpha eta } ight)e_{n-1}^{eta },}

где deg ⁡ ( χ n α β ) {displaystyle deg left(chi _{n}^{alpha eta } ight)} — степень отображения χ n α β {displaystyle chi _{n}^{alpha eta }} и сумма берётся по всем (n − 1)-мерным клеткам X {displaystyle X} .

В частности, если в клеточном комплексе нет двух клеток, размерности которых отличаются на единицу, то все граничные отображения зануляются и группы гомологий являются свободными. Например, H n ( C P n , Z ) = Z {displaystyle {H_{n}}(mathbb {C} mathrm {P} ^{n},mathbb {Z} )=mathbb {Z} } для чётных n {displaystyle n} и нулю для нечётных.

Свойства

Гомотопическая категория CW-комплексов, по мнению ряда экспертов, является лучшим вариантом для построения теории гомотопии. Одно из «хороших» свойств CW-комплексов — теорема Уайтхеда (слабая гомотопическая эквивалентность между CW-комплексами является гомотопической эквивалентностью). Для любого топологического пространства существует слабо гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс. Другой полезный результат состоит в том, что представимые функторы в гомотопической категории CW-комплексов обладают простой характеризацией в категорных терминах (теорема Брауна о представимости). Цилиндр, конус и.надстройка над CW-комплексом обладают естественной клеточной структурой.

С другой стороны, произведение CW-комплексов с естественным разбиением на клетки не всегда является CW-комплексом — топология произведения может не совпадать со слабой топологией, если оба комплекса не являются локально компактными. Однако топология произведения в категории компактно порождённых пространств совпадает со слабой топологией и всегда задаёт CW-комплекс. Пространство функций Hom(X, Y) с компактно-открытой топологией, вообще говоря, не является CW-комплексом, однако, согласно теореме Джона Милнора, гомотопически эквивалентно CW-комплексу при условии компактности X.

Накрытие CW-комплекса X может быть наделено структурой CW-комплекса таким образом, что его клетки гомеоморфно отображаются на клетки X.

Конечные CW-комплексы (комплексы с конечным числом клеток) компактны. Любое компактное подмножество CW-комплекса содержится в конечном подкомплексе.