Интерполяционная формула Гаусса

Интерполяционная формула Гаусса — формула, использующая в качестве узлов интерполяции ближайшие к точке интерполирования x {displaystyle x} узлы. Строится с помощью интерполяционной формулы Ньютона.

Пусть необходимо интерполировать некоторую функцию f {displaystyle f} . Если x = x 0 + t h {displaystyle x=x_{0}+th} , где x 0 {displaystyle x_{0}} — некоторая начальная точка, h > 0 {displaystyle h>0} , то формула

G 2 n ( x 0 + t h ) = f 0 + f 1 / 2 1 t + f 0 2 t ( t − 1 ) 2 ! + … + f 1 / 2 2 n − 1 t ( t 2 − 1 ) … [ t 2 − ( n − 1 ) 2 ] ( 2 n − 1 ) ! + f 0 2 n t ( t 2 − 1 ) … [ t 2 − ( n − 1 ) 2 ] ( t − n ) ( 2 n ) ! , {displaystyle G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t-1) over 2!}+ldots +f_{1/2}^{2n-1}{frac {t(t^{2}-1)ldots [t^{2}-(n-1)^{2}]}{(2n-1)!}}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)ldots [t^{2}-(n-1)^{2}](t-n) over (2n)!},}

написанная по узлам x 0 ,   x 0 + h ,   x 0 − h , … ,   x 0 + n h ,   x 0 − n h {displaystyle x_{0},~x_{0}+h,~x_{0}-h,ldots ,~x_{0}+nh,~x_{0}-nh} , называется формулой Гаусса для интерполирования вперёд, а формула

G 2 n ( x 0 + t h ) = f 0 + f − 1 / 2 1 t + f 0 2 t ( t + 1 ) 2 ! + … + f − 1 / 2 2 n − 1 t ( t 2 − 1 ) … [ t 2 − ( n − 1 ) 2 ] ( 2 n − 1 ) ! + f 0 2 n t ( t 2 − 1 ) … [ t 2 − ( n − 1 ) 2 ] ( t + n ) ( 2 n ) ! , {displaystyle G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{-1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t+1) over 2!}+ldots +f_{-1/2}^{2n-1}{t(t^{2}-1)ldots [t^{2}-(n-1)^{2}] over (2n-1)!}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)ldots [t^{2}-(n-1)^{2}](t+n) over (2n)!},}

написанная по узлам x 0 ,   x 0 − h ,   x 0 + h , … ,   x 0 − n h ,   x 0 + n h {displaystyle x_{0},~x_{0}-h,~x_{0}+h,ldots ,~x_{0}-nh,~x_{0}+nh} , называется формулой Гаусса для интерполирования назад.

В обеих формулах использованы конечные разности, определяемые следующим образом:

f i = f ( x i ) , f i + 1 / 2 1 = f i + 1 − f i , f i m = f i + 1 / 2 m − 1 − f i − 1 / 2 m − 1 {displaystyle f_{i}=f(x_{i}),;f_{i+1/2}^{1}=f_{i+1}-f_{i},;f_{i}^{m}=f_{i+1/2}^{m-1}-f_{i-1/2}^{m-1}}

Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.