Вырожденная матрица

Вырожденная матрица (синонимы: сингулярная матрица, особая матрица, особенная матрица) — квадратная матрица A , {displaystyle A,} определитель которой det ( A ) {displaystyle det(A)} равен нулю.

Эквивалентные условия вырожденности

Используя различные понятия линейной алгебры, можно привести различные условия вырожденности:

• Строки или столбцы матрицы линейно зависимы. В частном случае, если в вырожденной матрице существует как минимум две строки (или два столбца) x i {displaystyle {f {{x}_{i}}}} и x j , {displaystyle {f {{x}_{j},}}} отвечающие условию a x i = x j , {displaystyle a{f {{x}_{i}={f {{x}_{j},}}}}} где a — скаляр, то матрица будет вырожденной. Отсюда следует и тривиальный случай, что вырождена любая квадратная матрица, содержащая нулевой столбец или строку.
• Квадратная матрица A {displaystyle A} вырождена тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор x , {displaystyle x,} такой, что A x = 0. {displaystyle Ax=0.} Иными словами, линейный оператор, соответствующий матрице в стандартном базисе, имеет ненулевое ядро.
• Квадратная матрица A {displaystyle A} вырождена тогда и только тогда, когда у неё есть хотя бы одно нулевое собственное значение λ = 0. {displaystyle lambda =0.} Это вытекает из уравнения, которому удовлетворяют все собственные значения матрицы: det ( A − λ E ) = 0 {displaystyle det(A-lambda E)=0} (где E — единичная матрица), а также из того факта, что определитель матрицы равен произведению её собственных значений.

Свойства

• У вырожденной матрицы нет стандартной обратной матрицы. В то же время у вырожденной матрицы есть псевдообратная матрица (обобщённая обратная матрица) или даже их бесконечное количество.
• Ранг вырожденной матрицы меньше её размера (числа строк).
• Произведение вырожденной матрицы и любой квадратной матрицы с тем же размером даёт вырожденную матрицу. Это вытекает из свойства det ( A B ) = det ( A ) ⋅ det ( B ) . {displaystyle det(AB)=det(A)cdot det(B).} Вырожденная матрица, возведённая в любую целую положительную степень, остаётся вырожденной. Произведение любого количества матриц вырождено тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей вырожден. Произведение невырожденных матриц не может быть вырожденным.
• Транспонирование вырожденной матрицы оставляет её вырожденной (поскольку транспонирование не изменяет определитель матрицы, det ( A T ) = det ( A ) {displaystyle det(A^{T})=det(A)} ).
• Умножение вырожденной матрицы на скаляр оставляет её вырожденной (поскольку det ( α A ) = α n det ( A ) = 0 {displaystyle det(alpha A)=alpha ^{n}det(A)=0} , где n — размер вырожденной матрицы A, α — скаляр).
• Эрмитово-сопряжённая матрица вырожденной матрицы вырождена (поскольку определитель эрмитово-сопряжённой матрицы комплексно сопряжён с определителем исходной матрицы и, следовательно, равен нулю).
• Союзная (взаимная, присоединённая) матрица вырожденной матрицы вырождена (это вытекает из свойства союзных матриц det ( adj ⁡ ( A ) ) = ( det A ) n − 1 {displaystyle det(operatorname {adj} (A))=(det A)^{n-1}} ). Произведение вырожденной матрицы на союзную ей матрицу даёт нулевую матрицу: A ⋅ adj ⁡ ( A ) = adj ⁡ ( A ) ⋅ A = 0 , {displaystyle Acdot operatorname {adj} (A)=operatorname {adj} (A)cdot A=0,} поскольку для произвольной квадратной матрицы A ⋅ adj ⁡ ( A ) = adj ⁡ ( A ) ⋅ A = det ( A ) ⋅ E . {displaystyle Acdot operatorname {adj} (A)=operatorname {adj} (A)cdot A=det(A)cdot E.}
• Треугольная (и, в частности, диагональная) матрица вырождена тогда и только тогда, когда хотя бы один из её элементов на главной диагонали нулевой. Это вытекает из того, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали.
• Если матрица A вырождена, то система уравнений A x = 0 {displaystyle Ax=0} имеет ненулевые решения.
• Перестановка строк или столбцов вырожденной матрицы даёт вырожденную матрицу.
• Вырожденная матрица, рассматриваемая как линейный оператор, отображает векторное пространство в его подпространство меньшей размерности.

Частные случаи

Вырожденными матрицами являются, в частности:

• нулевая матрица (состоящая из одних нулей);
• матрица единиц (состоящая из одних единиц) при размере n > 1;
• нильпотентные матрицы (матрицы, какая-либо натуральная степень которых является нулевой матрицей);
  • сдвиговые матрицы (подмножество нильпотентных матриц);
• матрица Вандермонда, если хотя бы два её параметра совпадают;
• Матрицы Гелл-Манна в стандартном представлении (кроме λ8);
• Матрица Кирхгофа (известна также как матрица Лапласа) — матричное представление графа.