Теория возмущений

Теория возмущений — метод приближенного решения задач теоретической физики, применимый в том случае, когда в задаче присутствует малый параметр, причём в пренебрежении этим параметром задача имеет точное решение.

Физические величины, рассчитанные по теории возмущений, имеют вид ряда

A = A ( 0 ) + ε A ( 1 ) + ε 2 A ( 2 ) + . . . {displaystyle A=A^{(0)}+varepsilon A^{(1)}+varepsilon ^{2}A^{(2)}+...}

где A ( 0 ) {displaystyle A^{(0)}} — решение невозмущённой задачи, ε {displaystyle varepsilon } — малый параметр. Коэффициенты A ( n ) {displaystyle A^{(n)}} находятся путём последовательных приближений, то есть A ( n ) {displaystyle A^{(n)}} выражается через A ( 0 ) , . . . , A ( n − 1 ) {displaystyle A^{(0)},...,A^{(n-1)}} . Применяется в небесной механике, квантовой механике, квантовой теории поля и т. д.

В небесной механике

Исторически, первой дисциплиной, в которой была разработана теория возмущений, была небесная механика. Задача нахождения движения планет Солнечной системы есть задача N {displaystyle N} тел, которая, в отличие от задачи двух тел, не имеет точного аналитического решения. Её решение, однако, облегчается тем, что ввиду малой массы планет, притяжение планет друг к другу намного слабее, чем притяжение их Солнцем. В пренебрежении массами планет задача сводится к N − 1 {displaystyle N-1} независимым задачам двух тел, которые решаются точно; каждая планета движется в поле тяготения Солнца по эллиптической орбите согласно законам Кеплера. Это есть решение невозмущённой задачи, или нулевое приближение. Силы, действующие со стороны других планет, приводят к искажению, или возмущению этих эллиптических орбит. Для вычисления траектории планеты с учётом возмущения применяется следующий метод.

Положение планеты в пространстве и её скорость можно задать при помощи шести величин (по числу степеней свободы): большая полуось и эксцентриситет орбиты, наклонение орбиты её к плоскости эклиптики, долгота восходящего узла, аргумент перицентра и момент прохождения через перигелий. Эти величины (обозначим их для простоты a i {displaystyle a_{i}} ) выгодно отличаются от декартовых координат и компонент скорости тем, что для невозмущённого движения они постоянны:

a i ( t ) = a i ( 0 ) = c o n s t , {displaystyle a_{i}(t)=a_{i}^{(0)}={ m {const}},}

поэтому уравнения движения планеты, записанные через них, содержат малый параметр в правой части:

d a i d t = ε f i ( a 1 , a 2 , . . . a 6 , t ) ( ∗ ) {displaystyle {frac {da_{i}}{dt}}=varepsilon f_{i}(a_{1},a_{2},...a_{6},t)qquad qquad (*)}

Ввиду этого, решать уравнения движения удобно методом последовательных приближений. В первом приближении подставим в правую часть решения невозмущённого уравнения, и найдём:

a i ( t ) = a i ( 0 ) + ε a i ( 1 ) ( t ) = a i ( 0 ) + ε ∫ 0 t f i ( a i ( 0 ) , τ ) d τ . {displaystyle a_{i}(t)=a_{i}^{(0)}+varepsilon a_{i}^{(1)}(t)=a_{i}^{(0)}+varepsilon int _{0}^{t}f_{i}(a_{i}^{(0)}, au )d au .}

Для нахождения второго приближения подставляем найденное решение в правую часть (*) и решаем получившиеся уравнения и т. д.

В квантовой механике

Теория возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда гамильтониан системы можно представить в виде

H = H ( 0 ) + V {displaystyle H=H^{(0)}+V}

где H ( 0 ) {displaystyle H^{(0)}} — невозмущённый гамильтониан (причём решение соответствующего уравнения Шрёдингера известно точно), а V {displaystyle V} — малая добавка (возмущение).

Стационарная теория возмущений

Задача состоит в нахождении собственных функций гамильтониана (стационарных состояний) и соответствующих уровней энергии. Будем искать решения уравнения Шрёдингера для нашей системы

H | ψ n ⟩ = E n | ψ n ⟩ ( ∗ ∗ ) {displaystyle H|psi _{n} angle =E_{n}|psi _{n} angle qquad qquad (**)}

в виде разложения в ряд

ψ n = ψ n ( 0 ) + ψ n ( 1 ) + ψ n ( 2 ) + . . . {displaystyle psi _{n}=psi _{n}^{(0)}+psi _{n}^{(1)}+psi _{n}^{(2)}+...} E n = E n ( 0 ) + E n ( 1 ) + E n ( 2 ) + . . . ( ∗ ∗ ∗ ) {displaystyle E_{n}=E_{n}^{(0)}+E_{n}^{(1)}+E_{n}^{(2)}+...qquad qquad (***)}

где ψ n ( 0 ) {displaystyle psi _{n}^{(0)}} и E n ( 0 ) {displaystyle E_{n}^{(0)}} — волновые функции и энергетические уровни невозмущённой задачи

H ( 0 ) | ψ n ( 0 ) ⟩ = E n ( 0 ) | ψ n ( 0 ) ⟩ , {displaystyle H^{(0)}|psi _{n}^{(0)} angle =E_{n}^{(0)}|psi _{n}^{(0)} angle ,}

а число n {displaystyle n} нумерует энергетические уровни.

Подставляя (***) в (**), с точностью до членов первого порядка по возмущению получим

( V − E n ( 1 ) ) | ψ n ( 0 ) ⟩ = ( E n ( 0 ) − H ( 0 ) ) | ψ n ( 1 ) ⟩ {displaystyle (V-E_{n}^{(1)})|psi _{n}^{(0)} angle =(E_{n}^{(0)}-H^{(0)})|psi _{n}^{(1)} angle }

Домножая слева на ψ m ( 0 ) {displaystyle psi _{m}^{(0)}} , и учитывая, что ψ m ( 0 ) {displaystyle psi _{m}^{(0)}} — (ортонормированные) собственные функции невозмущённого гамильтониана, получаем

E n ( 1 ) = V n n {displaystyle E_{n}^{(1)}=V_{nn}} ψ n ( 1 ) = ∑ m ≠ n V m n E n ( 0 ) − E m ( 0 ) ψ m ( 0 ) , {displaystyle psi _{n}^{(1)}=sum _{m eq n}{frac {V_{mn}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}psi _{m}^{(0)},}

где V m n ≡ ⟨ ψ m ( 0 ) | V | ψ n ( 0 ) ⟩ {displaystyle V_{mn}equiv langle psi _{m}^{(0)}|V|psi _{n}^{(0)} angle } — матричные элементы возмущения.

Вышеизложенная процедура работает, если невозмущённый уровень E n ( 0 ) {displaystyle E_{n}^{(0)}} невырожден. В противном случае для нахождения поправок первого порядка необходимо решать секулярное уравнение.

Аналогичным образом находятся поправки следующих порядков, хотя формулы сильно усложняются.

Нестационарная теория возмущений

В квантовой теории поля

Большинство вычислений в квантовой теории поля, в частности, в квантовой электродинамике (КЭД), также делаются в рамках теории возмущений. Невозмущённым решением являются свободные поля, а малым параметром — константа взаимодействия (в электродинамике — постоянная тонкой структуры α = 1 / 137 {displaystyle alpha =1/137} ). Для представления членов ряда теории возмущений в наглядной форме используются диаграммы Фейнмана.

В наше время многие вычисления в КЭД не ограничиваются первым или вторым порядком теории возмущений. Так, аномальный магнитный момент электрона в настоящее время (2015) вычислен до 5-го порядка по α {displaystyle alpha } .

Тем не менее, существует теорема о том, что ряд теории возмущений в КЭД является не сходящимся, а лишь асимптотическим. Это означает, что, начиная с некоторого (на практике — очень большого) порядка теории возмущений согласие между приближённым и точным решением будет уже не улучшаться, а ухудшаться.

Примеры неприменимости теории возмущений

Несмотря на свою кажущуюся универсальность, метод теории возмущений не срабатывает в определённом классе задач. Примерами могут являться инстантонные эффекты в ряде задач квантовой механики и квантовой теории поля. Инстантонные вклады обладают существенными особенностями в точке разложения. Типичный пример инстантонного вклада имеет вид:

T i n s t = A exp ⁡ ( − 1 / g ) {displaystyle T_{inst}=Aexp(-1/g)} , где g {displaystyle g} — малый параметр.

Эта функция является неаналитичной в точке g = 0 {displaystyle g=0} , а потому не может быть разложена в ряд Маклорена по g {displaystyle g} .