title-icon
Яндекс.Метрика

Отрицательная частота

29.11.2022


Понятие отрицательной и положительной частоты может быть показано на примере вращающегося в ту или другую сторону вектора. Частота со знаком отражает как скорость, так и направление вращения. Скорость выражена в оборотах (циклах) в секунду (герцах) или рад/с (где 1 оборот соответствует 2π радианам).

Для заданного во времени сигнала такой вектор представляет его на комплексной плоскости. Зависимость значения сигнала от времени есть лишь зависимость проекции вектора на действительную ось от времени. Поэтому понятие отрицательной частоты не может быть представлено в виде некомплексных сигналов во временной области и распространяется только на частотную.

Чтобы сигнал был представим в некомплексном виде, формула Эйлера требует равенства коэффициентов при комплексных экспонентах частот разных знаков. Несимметричность спектра равноценна наличию в сигнале гармоник, заданных только для отрицательной частоты.

Рассмотрим сигнал с девиацией частоты ± Δ ω {displaystyle pm Delta omega } относительно несущей. При переносе несущей на ноль обычным гетеродином информация искажается. Поэтому для правильной обработки необходимо использовать квадратурный гетеродин, в котором вводится дополнительный канал, позволяющий сохранить информацию о несимметричности спектра (об отрицательной частоте относительно несущей) представляя огибающую двумя равноценными сигналами: исходный сигнал становится комплексным. Получить из такого сигнала вещественный можно лишь его переносом на несущую ω s > Δ ω {displaystyle omega _{s}>Delta omega } , иначе требуется два канала передачи.

Пример искажения сигнала при преобразовании несущей обычным гетеродином:

c o s ( ω s t + Δ ω t ) + 2 c o s ( ω s t − Δ ω t ) → ω s → 0 3 c o s ( Δ ω t ) → ω 0 → ω s 1.5 c o s ( ω s t + Δ ω t ) + 1.5 c o s ( ω s t − Δ ω t ) {displaystyle cosleft(omega _{s}t+Delta omega t ight)+2cosleft(omega _{s}t-Delta omega t ight){xrightarrow {omega _{s} o 0}}3cosleft(Delta omega t ight){xrightarrow {omega _{0} o omega _{s}}}1.5cosleft(omega _{s}t+Delta omega t ight)+1.5cosleft(omega _{s}t-Delta omega t ight)}

Преобразование квадратурным гетеродином:

c o s ( ω s t + Δ ω t ) + 2 c o s ( ω s t − Δ ω t ) → ω s → 0 3 c o s ( Δ ω t ) − i s i n ( Δ ω t ) → ω 0 → ω s c o s ( ω s t + Δ ω t ) + 2 c o s ( ω s t − Δ ω t ) {displaystyle cosleft(omega _{s}t+Delta omega t ight)+2cosleft(omega _{s}t-Delta omega t ight){xrightarrow {omega _{s} o 0}}3cosleft(Delta omega t ight)-isinleft(Delta omega t ight){xrightarrow {omega _{0} o omega _{s}}}cosleft(omega _{s}t+Delta omega t ight)+2cosleft(omega _{s}t-Delta omega t ight)}

Для частотной области таким непредставимым понятием является временная асимметрия сигналов: лишь симметричные сигналы имеют некомплексный спектр.

Нечетная симметрия синусоиды во времени, в частотной области представлена сменой знака частоты: S ( f ) = − S ( − f ) {displaystyle S(f)=-S(-f)} , а значения косинуса не связаны со знаком частоты.

Таким образом, понятие отрицательной частоты столь же оправданно, как и понятие отрицательного времени. Наглядное представление вращающегося в разные стороны вектора можно получить на экране осциллографа, подавая синус на вертикальные, а косинус на горизонтальные пластины и меняя полуось времени (знак синуса).

Синусоида

Синус — это функция углового аргумента, циклично меняющая свою амплитуду с постоянным возрастанием и убыванием «угла» (фазы). Понятие отрицательной частоты используется для различения уменьшающегося или увеличивающегося аргумента. Но синус немонотонная функция: sin ⁡ ( ω t + π 2 + θ ) {displaystyle sin(omega t+{frac {pi }{2}}+ heta )} уже не сохраняет знак ω {displaystyle omega } , так же, как f ( x ) = x 2 {displaystyle f(x)=x^{2}} не сохраняет знак x {displaystyle x} . Хотя θ {displaystyle heta } обычно отражает неизвестное, случайное смещение фазы, в большинстве случаев использования отдельной взятой вещественной синусоиды достаточно «предположить», что ω {displaystyle omega } положительна.

Иногда два колебания одной частотой и известной фазой различны, к примеру:

R ( t ) = cos ⁡ ( ω t + θ ) {displaystyle R(t)=cos(omega t+ heta )}

и

I ( t ) = cos ⁡ ( ω t + θ − π 2 ) = sin ⁡ ( ω t + θ ) {displaystyle I(t)=cos(omega t+ heta -{egin{matrix}{frac {pi }{2}}end{matrix}})=sin(omega t+ heta )}

При ω > 0 {displaystyle omega >0} , R ( t ) {displaystyle R(t)} опережает I ( t ) {displaystyle I(t)} на 1 4 {displaystyle {egin{matrix}{frac {1}{4}}end{matrix}}} периода ( = π 2 {displaystyle ={egin{matrix}{frac {pi }{2}}end{matrix}}} рад). Но когда ω < 0 {displaystyle omega <0} , их роли меняются. Так в этом случае возможно отличить отрицательные и положительные частоты: R ( t ) {displaystyle R(t)} рассматривается как реальная, а I ( t ) {displaystyle I(t)} как мнимая часть одного и того же колебания. И θ = 0 {displaystyle heta =0} . График показывает отрицательную частоту. Отрицательная частота (уменьшение фазы) может быть представлена вращением вектора комплексной амплитуды по часовой стрелке.

Параметрический график такой зависимости мнимой части от действительной выглядит как окружность. Добавление измерения времени представляет движение точки по такой окружности в виде спирали.

Комплексная синусоида

Комплексная функция: cos ⁡ ( ω t ) + j ⋅ sin ⁡ ( ω t ) {displaystyle cos(omega t)+jcdot sin(omega t)} облегчает многие виды операций с использованием cos ⁡ ( ω t ) {displaystyle cos(omega t)} , в значительной степени благодаря упрощению Эйлера:

e j ω t = cos ⁡ ( ω t ) + j ⋅ sin ⁡ ( ω t ) {displaystyle e^{jomega t}=cos(omega t)+jcdot sin(omega t)}

Эта часто употребимая запись называются комплексной синусоидой, и она сохраняет различие между положительными и отрицательными ω {displaystyle omega } .

  • Для положительных значений она так же зовется аналитическим сигналом cos ⁡ ( ω t ) {displaystyle cos(omega t)} .

Преобразование Фурье от e j ω t {displaystyle e^{jomega t}} — ненулевой отклик на единственной частоте ω {displaystyle omega } .

  • Преобразование от cos ⁡ ( ω t ) {displaystyle cos(omega t)} имеет отклики на ω {displaystyle omega } и − ω {displaystyle -omega } , что отражает тот факт, что одного cos ⁡ ( ω t ) {displaystyle cos(omega t)} недостаточно для определения знака ω {displaystyle omega } .
    • Как, например, 4 {displaystyle {sqrt {4}}} это +2 или −2, конкретный результат зависит от сопутствующей информации.
    • По-другому, и очень удобно, это показывает следствие из формулы Эйлера, содержащее обе частоты: cos ⁡ ( ω t ) = 1 2 ( e j ω t + e − j ω t ) {displaystyle cos(omega t)={egin{matrix}{frac {1}{2}}end{matrix}}(e^{jomega t}+e^{-jomega t})} .

Дискретизация и алиасинг

Алиасинг дискретизированных синусоид (косинусоид).

При дискретизации комплексной синусоиды с постоянным интервалом, её частота становится неотличима от некоторых других частот, в том числе от отрицательной (т. н. алиасинг). Частные случаи этого эффекта показаны на рисунке. Красная линия показывает 0 Hz (постоянная величина). Последовательно возрастающие частоты отмечены оранжевым, синим, пурпурным, фиолетовым, черным. Некоторые отсчёты отображают «R» и «I» одной частоты, а другие «I» разных частот, являющихся «алиасами» (ложными именами) друг друга.

Например, в четвертом кадре (пурпурные и зеленые) показано совпадение отсчетов мнимой компоненты дробной частоты + 5 8 {displaystyle {egin{matrix}{frac {5}{8}}end{matrix}}} и отрицательной частоты − 3 8 {displaystyle -{egin{matrix}{frac {3}{8}}end{matrix}}} . Другими словами: e j 2 π ( + 5 8 ) n = e j 2 π ( − 3 8 ) n {displaystyle e^{j2pi left(+{egin{matrix}{frac {5}{8}}end{matrix}} ight)n}=e^{j2pi left(-{egin{matrix}{frac {3}{8}}end{matrix}} ight)n}} для целых n. Сигналы являются всего лишь мнимыми компонентами: e j 2 π ( + 5 8 ) F s t {displaystyle e^{j2pi left(+{egin{matrix}{frac {5}{8}}end{matrix}} ight)F_{s}t}} и e j 2 π ( − 3 8 ) F s t {displaystyle e^{j2pi left(-{egin{matrix}{frac {3}{8}}end{matrix}} ight)F_{s}t}} , где F s {displaystyle F_{s}} — частота дискретизации (samples/sec).

Аналогично + 7 8 {displaystyle {egin{matrix}{frac {7}{8}}end{matrix}}} неотличимо от − 1 8 {displaystyle -{egin{matrix}{frac {1}{8}}end{matrix}}} . А 8 8 {displaystyle {egin{matrix}{frac {8}{8}}end{matrix}}} (последний график) неотличимо от 0 8 {displaystyle {egin{matrix}{frac {0}{8}}end{matrix}}} (первый график).

Отрицательные частоты как согласованный фильтр для положительных

Строки ДПФ матрицы начинаются с нулевой частоты, убывающей строка за строкой при смещении вниз. Каждая из функций этих строк как согласованный фильтр выявляет растущие положительные частоты в рассматриваемом сигнале. Например, верхняя строка ДПФ-матрицы 8 порядка выявляет постоянную составляющую сигнала, а следующая строка, являющаяся сигналом с дробной частотой −1/8, измеряет величину мощности при +1/8 дробной частоты в исследуемом сигнале.

Отрицательные частоты в радаре Доплера

В радаре Доплера регистрируемая разностная частота от объектов перемещающихся к и от радара отличается знаком.