Основная теорема теории Галуа

Основная теорема теории Галуа — теорема о расширениях полей определённого вида, ключевой результат теории Галуа.

Формулировка: для конечного расширения Галуа E ⊃ F {displaystyle Esupset F} существует взаимно-однозначное соответствие между множеством промежуточных полей K {displaystyle K} вида E ⊃ K ⊃ F {displaystyle Esupset Ksupset F} и множеством подгрупп группы Галуа данного расширения (более того, теорема явным образом задаёт это соответствие).

Описание соответствия

Для данного конечного расширения E ⊃ F {displaystyle Esupset F} соответствие устроено следующим образом:

• Для любой подгруппы H {displaystyle H} группы Галуа соответствующее ей промежуточное поле, обычно обозначаемое E H {displaystyle E^{H}} , — это множество тех элементов поля E {displaystyle E} , которые являются неподвижными точками каждого автоморфизма из H {displaystyle H} , с индуцированными из E {displaystyle E} операциями.
• Для любого промежуточного поля соответствующая ему подгруппа состоит из тех автоморфизмов, которые действуют тождественно на этом промежуточном поле.

Например, поле E {displaystyle E} соответствует тривиальной подгруппе, а F {displaystyle F} — всей группе (так как все автоморфизмы из группы Галуа сохраняют меньшее поле, а для любого другого элемента существует автоморфизм, действующий на нём нетривиально).

Свойства соответствия

Данное соответствие обладает несколькими полезными свойствами. В частности, оно обращает порядок по включению: для подгрупп группы Галуа условие H 1 ⊆ H 2 {displaystyle H_{1}subseteq H_{2}} равносильно E H 2 ⊆ E H 1 {displaystyle E^{H_{2}}subseteq E^{H_{1}}} . Кроме того, поле E H {displaystyle E^{H}} является нормальным расширением F {displaystyle F} (или, эквивалентно, расширением Галуа, так как каждое подрасширение сепарабельного расширения сепарабельно) тогда и только тогда, когда E H {displaystyle EH} — нормальная подгруппа группы Галуа. Факторгруппа по ней изоморфна группе Галуа расширения E H ⊃ F {displaystyle E^{H}supset F} .

Пример

Рассмотрим поле Q ( 2 , 3 ) {displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}},{sqrt {3}})} . Каждый его элемент можно записать в виде

a + b 2 + c 3 + d ( 2 ⋅ 3 ) , {displaystyle a+b{sqrt {2}}+c{sqrt {3}}+d({sqrt {2}}cdot {sqrt {3}}),}

где a {displaystyle a} , b {displaystyle b} , c {displaystyle c} , d {displaystyle d} — рациональные числа. Рассмотрим автоморфизмы расширения Q ( 2 , 3 ) ⊃ Q {displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}},{sqrt {3}})supset mathbb {Q} } . Поскольку это расширение порождается 2 {displaystyle {sqrt {2}}} и 3 {displaystyle {sqrt {3}}} , любой автоморфизм однозначно определяется их образами. Автоморфизмы любого расширения могут только переставлять местами корни многочлена над меньшим полем, следовательно, в данном случае все возможные нетривиальные автоморфизмы — это перестановка 2 {displaystyle {sqrt {2}}} и − 2 {displaystyle -{sqrt {2}}} (обозначим этот автоморфизм f {displaystyle f} ), перестановка 3 {displaystyle {sqrt {3}}} и − 3 {displaystyle -{sqrt {3}}} (автоморфизм g {displaystyle g} ) и их композиция f g {displaystyle fg} . Более точно, эти преобразования задаются следующим образом:

f ( a + b 2 + c 3 + d 6 ) = a − b 2 + c 3 − d 6 , {displaystyle f(a+b{sqrt {2}}+c{sqrt {3}}+d{sqrt {6}})=a-b{sqrt {2}}+c{sqrt {3}}-d{sqrt {6}},} g ( a + b 2 + c 3 + d 6 ) = a + b 2 − c 3 − d 6 . {displaystyle g(a+b{sqrt {2}}+c{sqrt {3}}+d{sqrt {6}})=a+b{sqrt {2}}-c{sqrt {3}}-d{sqrt {6}}.}

Очевидно, что эти отображения действуют биективно и переводят сумму в сумму, следовательно, для проверки равенства f ( a b ) = f ( a ) ⋅ f ( b ) {displaystyle f(ab)=f(a)cdot f(b)} достаточно проверить его на парах базисных элементов, что также тривиально. Таким образом, группа Галуа данного расширения — четверная группа Клейна:

G = { 1 , f , g , f g } . {displaystyle G={1,f,g,fg}.}

Она имеет три нетривильные подгруппы:

• автоморфизмы из подгруппы { 1 , f } {displaystyle {1,f}} сохраняют элементы промежуточного поля Q ( 3 ) {displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {3}})} ;
• автоморфизмы из { 1 , g } {displaystyle {1,g}} сохраняют Q ( 2 ) {displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}})} ;
• автоморфизмы из { 1 , f g } {displaystyle {1,fg}} сохраняют Q ( 6 ) {displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {6}})} .

Приложения

Основная теорема сводит вопрос существования промежуточных полей к вопросу о существовании подгрупп некоторой конечной группы (так как порядок группы Галуа равен размерности расширения), многие задачи теории Галуа решаются простым применением основной теоремы.

Например, вопрос о разрешимости уравнения в радикалах обычно формулируют так: можно ли выразить корни данного многочлена через его коэффициенты, используя только арифметические операции и операцию взятия корня n {displaystyle n} -й степени. На языке теории полей этот вопрос можно сформулировать так: рассмотрим поле F {displaystyle F} , порождённое коэффициентами многочлена, и поле E {displaystyle E} , полученное присоединением его корней. Спрашивается, существует ли такая цепочка промежуточных полей

E = K n ⊃ K n − 1 ⊃ … ⊃ K 1 ⊃ K 0 = F , {displaystyle E=K_{n}supset K_{n-1}supset ldots supset K_{1}supset K_{0}=F,}

что K i + 1 = K i ( α ) {displaystyle K_{i+1}=K_{i}(alpha )} , где α {displaystyle alpha } — корень уравнения x n − a ,   a ∈ K i {displaystyle x^{n}-a, ain K_{i}} , причём поле K i {displaystyle K_{i}} содержит все корни уравнения x n − 1 {displaystyle x^{n}-1} . В этом случае можно доказать, что соответствующий ряд подгрупп группы Галуа обладает тем свойством, что факторгруппа G i / G i + 1 {displaystyle G_{i}/G_{i+1}} существует и является циклической. Группы, для которых существует хотя бы один ряд с таким свойством, называются разрешимыми, таким образом, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Такие теории, как теория Куммера и теория полей классов, основываются на основной теореме теории Галуа.