title-icon
Яндекс.Метрика

Устойчивость (динамические системы)

07.09.2022


Устойчивость — свойство решения дифференциального уравнения притягивать к себе другие решения при условии достаточной близости их начальных данных. В зависимости от характера притяжения выделяются различные виды устойчивости. Устойчивость является предметом изучения таких дисциплин, как теория устойчивости и теория динамических систем.

Определения

Пусть Ω {displaystyle Omega } — область фазового пространства R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} , I = [ τ ; ∞ ) {displaystyle I=[ au ;infty )} , где τ ∈ R {displaystyle au in mathbb {R} } . Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида:

где x ∈ R n {displaystyle xin mathbb {R} ^{n}} , функция f {displaystyle f} определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица локально по x {displaystyle x} в области I × Ω {displaystyle I imes Omega } .

При этих условиях для любых ( t 0 , x 0 ) ∈ I × Ω {displaystyle (t_{0},x_{0})in I imes Omega } существует единственное решение x ( t , t 0 , x 0 ) {displaystyle x(t,t_{0},x_{0})} системы (1), удовлетворяющее начальным условиям: x ( t 0 , t 0 , x 0 ) = x 0 {displaystyle x(t_{0},t_{0},x_{0})=x_{0}} . Выделим некоторое решение φ ( t ) {displaystyle varphi (t)} , определённое на интервале J + = [ t 0 ; ∞ ) {displaystyle J^{+}=[t_{0};infty )} , таком, что J + ⊂ I {displaystyle J^{+}subset I} и будем называть его невозмущённым решением.

Устойчивость по Ляпунову

Невозмущённое решение φ ( t ) {displaystyle varphi (t)} системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых t 0 > τ {displaystyle t_{0}> au } и ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует δ > 0 {displaystyle delta >0} , зависящее только от ε {displaystyle varepsilon } и t 0 {displaystyle t_{0}} и не зависящее от t {displaystyle t} , такое, что для всякого x 0 {displaystyle x_{0}} , для которого ‖ x 0 − φ ( t 0 ) ‖ < δ {displaystyle |x_{0}-varphi (t_{0})|<delta } , решение x {displaystyle x} системы (1) с начальными условиями x ( t 0 ) = x 0 {displaystyle x(t_{0})=x_{0}} продолжается на всю полуось J + {displaystyle J^{+}} и для любого t ∈ J + {displaystyle tin J^{+}} удовлетворяет неравенству ‖ x ( t ) − φ ( t ) ‖ < ε {displaystyle |x(t)-varphi (t)|<varepsilon } .

Символически это записывается так:

∀ ε > 0 , ∀ t 0 ∈ I   ∃ δ ( t 0 , ε ) > 0 :   ∀ x 0 : ‖ x 0 − φ ( t 0 ) ‖ < δ ⇒ ∀ t ∈ J + : ‖ x ( t , t 0 , x 0 ) − φ ( t ) ‖ < ε . {displaystyle forall varepsilon >0,forall t_{0}in I exists delta (t_{0},varepsilon )>0: forall x_{0}:|x_{0}-varphi (t_{0})|<delta Rightarrow forall tin J^{+}:|x(t,t_{0},x_{0})-varphi (t)|<varepsilon .}

Невозмущённое решение φ ( t ) {displaystyle varphi (t)} системы (1) называется неустойчивым, если оно не является устойчивым по Ляпунову, то есть

∃ ε > 0 , ∃ t 0 ∈ I : ∀ δ > 0   ∃ x 0 : ‖ x 0 − φ ( t 0 ) ‖ < δ , ∃ t ∗ > t 0 : ‖ x ( t ∗ , t 0 , x 0 ) − φ ( t ∗ ) ‖ = ε . {displaystyle exists varepsilon >0,exists t_{0}in I:forall delta >0 exists x_{0}:|x_{0}-varphi (t_{0})|<delta ,exists t_{*}>t_{0}:|x(t_{*},t_{0},x_{0})-varphi (t_{*})|=varepsilon .}

Равномерная устойчивость

Невозмущённое решение φ ( t ) {displaystyle varphi (t)} системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ {displaystyle delta } из предыдущего определения зависит только от ε {displaystyle varepsilon } :

∀ ε > 0   ∃ δ ( ε ) > 0 :   ∀ x 0 , ∀ t 0 ∈ I : ‖ x 0 − φ ( t 0 ) ‖ < δ ⇒ ∀ t ∈ J + : ‖ x ( t , t 0 , x 0 ) − φ ( t ) ‖ < ε . {displaystyle forall varepsilon >0 exists delta (varepsilon )>0: forall x_{0},forall t_{0}in I:|x_{0}-varphi (t_{0})|<delta Rightarrow forall tin J^{+}:|x(t,t_{0},x_{0})-varphi (t)|<varepsilon .}

Асимптотическая устойчивость

Невозмущённое решение φ ( t ) {displaystyle varphi (t)} системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и является притягивающим, то есть выполняется условие lim t → ∞ ‖ x ( t , t 0 , x 0 ) − φ ( t ) ‖ = 0 {displaystyle lim _{t o infty }|x(t,t_{0},x_{0})-varphi (t)|=0} для любого решения x ( t ) {displaystyle x(t)} с начальными данными x 0 {displaystyle x_{0}} , для которых выполняется неравенство | | x 0 − φ ( t 0 ) | | < δ 0 {displaystyle ||x_{0}-varphi (t_{0})||<delta _{0}} при некотором δ 0 {displaystyle delta _{0}} .

Существуют определённые разновидности асимптотической устойчивости. Невозмущённое решение φ ( t ) {displaystyle varphi (t)} системы (1) называется:

  • эквиасимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее ( x ( t ) {displaystyle x(t)} не зависит от x 0 {displaystyle x_{0}} ).
  • равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее ( x ( t ) {displaystyle x(t)} не зависит от t 0 {displaystyle t_{0}} и x 0 {displaystyle x_{0}} ).
  • асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее (отсутствует ограничение на x 0 {displaystyle x_{0}} ).
  • равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно и глобальнопритягивающее.

Замечание

В качестве невозмущённого решения системы можно рассматривать тривиальное решение x ( t ) ≡ 0 {displaystyle x(t)equiv 0} , что делает условия устойчивости более простыми. Для этого необходимо ввести сдвигающую замену y = x − φ {displaystyle y=x-varphi } и рассматривать систему

y ˙ = g ( t , y ) , {displaystyle {dot {y}}=g(t,y),}

где g ( t , y ) = f ( t , y + φ ( t ) ) − f ( t , φ ( t ) ) . {displaystyle g(t,y)=f(t,y+varphi (t))-f(t,varphi (t)).}