title-icon
Яндекс.Метрика

Теорема Мореры

01.09.2022


Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так:

Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием обращения в нуль интегралов, взятых по границе любого треугольника, принадлежащего области D {displaystyle D} .

Идея доказательства

Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь первообразную в D {displaystyle D} , т. е. существует такая функция F ( z ) {displaystyle F(z)} , что

d F ( z ) d z = f ( z ) . {displaystyle {frac {dF(z)}{dz}}=f(z).}

Но функция, комплексно дифференцируемая один раз, является аналитической, поэтому её производная f {displaystyle f} также будет аналитической.

Применение

Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определённой функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если последовательность f n {displaystyle f_{n}} аналитичных функций равномерно сходится к функции f {displaystyle f} , то

∮ lim n → ∞ f n ( z ) d z = lim n → ∞ ∮ f n ( z ) d z = 0 , {displaystyle oint lim _{n o infty }f_{n}(z),dz=lim _{n o infty }oint f_{n}(z),dz=0,}

поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определённых рядами и интегралами, например, дзета-функции Римана

ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {displaystyle zeta (s)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{s}}}}

и гамма-функции Эйлера

Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ t α − 1 e − t d t . {displaystyle Gamma (alpha )=int limits _{0}^{infty }t^{alpha -1}e^{-t},dt.}

Теорема Мореры также используется для доказательства аналитичности функции, построенной по принципу симметрии.

История

Эта теорема была получена итальянским математиком Джиачинто Морерой в 1886 году.