Лестничный оператор

Лестничный оператор — оператор, увеличивающий или уменьшающий собственное значение другого оператора — соответственно, повышающий оператор или понижающий оператор. Основное применение — в квантовой механике, где повышающий оператор называется оператором рождения, а понижающий — оператором уничтожения, используются для описания, в частности, квантового гармонического осциллятора и оператора углового момента.

Если два оператора X {displaystyle X} и N {displaystyle N} имеют коммутатор:

[ N , X ] = c X {displaystyle [N,X]=cX}

для некоторого скаляра c {displaystyle c} , то оператор X {displaystyle X} действует на другой оператор таким образом, что сдвигает собственное значение оператора N {displaystyle N} на c {displaystyle c} :

Другими словами, если | n ⟩ {displaystyle |n angle } является собственным вектором оператора N {displaystyle N} с собственным значением n {displaystyle n} , то X | n ⟩ {displaystyle X|n angle } — собственное состояние N {displaystyle N} с собственным значением n + c {displaystyle n+c} . Повышающий оператор для N {displaystyle N} — оператор X {displaystyle X} , для которого c {displaystyle c} является вещественным положительным числом, а понижающий оператор — для которого число c {displaystyle c} вещественное отрицательное.

Если N {displaystyle N} — эрмитов оператор, то c {displaystyle c} должно быть вещественным, при этом эрмитово сопряжённый оператор от X {displaystyle X} подчиняется следующему коммутационному соотношению:

[ N , X † ] = − c X † {displaystyle [N,X^{dagger }]=-cX^{dagger }} .

Также верно, что если X {displaystyle X} является понижающим оператором для N {displaystyle N} , то X † {displaystyle X^{dagger }} — повышающий оператор N {displaystyle N} (и обратное тоже верно).