Отрицательное биномиальное распределение

Отрицательное биномиальное распределение, также называемое распределением Паскаля — это распределение дискретной случайной величины, равной числу произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха p {displaystyle p} , проводимых до r {displaystyle r} -го успеха.

Определение

Пусть { X i } i = 1 ∞ {displaystyle {X_{i}}_{i=1}^{infty }} — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

X i = { 1 , p 0 , q ≡ 1 − p , i ∈ N . {displaystyle X_{i}=left{{egin{matrix}1,&p,&qequiv 1-pend{matrix}} ight.,;iin mathbb {N} .}

Построим случайную величину Y {displaystyle Y} следующим образом. Пусть k + r {displaystyle k+r} — номер r {displaystyle r} -го успеха в этой последовательности. Тогда Y = k {displaystyle Y=k} . Более строго, положим S n = ∑ i = 1 n X i {displaystyle S_{n}=sum limits _{i=1}^{n}X_{i}} . Тогда

Y = inf { n ∣ S n = r } − r {displaystyle Y=inf{nmid S_{n}=r}-r} .

Распределение случайной величины Y {displaystyle Y} , определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: Y ∼ N B ( r , p ) {displaystyle Ysim mathrm {NB} (r,p)} .

Функции вероятности и распределения

Функция вероятности случайной величины Y {displaystyle Y} имеет вид:

P ( Y = k ) = ( k + r − 1 k ) p r q k , k = 0 , 1 , 2 , … {displaystyle mathbb {P} (Y=k)={inom {k+r-1}{k}},p^{r}q^{k},;k=0,1,2,ldots } .

Функция распределения Y {displaystyle Y} кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

F Y ( k ) = I p ( r , k + 1 ) {displaystyle F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)} .

Моменты

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

M Y ( t ) = ( p 1 − q e t ) r {displaystyle M_{Y}(t)=left({frac {p}{1-qe^{t}}} ight)^{r}} ,

откуда

E [ Y ] = r q p {displaystyle mathbb {E} [Y]={frac {rq}{p}}} D [ Y ] = r q p 2 {displaystyle mathrm {D} [Y]={frac {rq}{p^{2}}}}

Свойства

Пусть Y i ∼ N B ( r i , p ) {displaystyle Y_{i}sim NB(r_{i},p)} , тогда ∑ i Y i ∼ N B ( ∑ i r i , p ) {displaystyle sum _{i}Y_{i}sim NBleft(sum _{i}r_{i},p ight)}

Частные случаи отрицательного биномиального распределения

• При r→∞ отрицательное биномиальное распределение становится распределением Пуассона
• Если параметр r - целое число, то отрицательное биномиальное распределение становится обобщенным распределением Бозе-Эйнштейна .
• При r=1 отрицательное биномиальное распределение становится геометрическим распределением
• При r=1 получающееся геометрическое распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source) .