Метод стационарной фазы

Метод стационарной фазы — метод, использующийся для аппроксимации интегралов вида ∫ a b e i λ ϕ ( x ) Φ ( x ) d x {displaystyle int limits _{a}^{b}e^{ilambda phi (x)}Phi (x),dx} .

Основы

Основная идея метода стационарной фазы заключается в сокращении синусоид с быстро меняющейся фазой. Если много синусоид имеют одинаковые фазы, то они складываются, усиливая друг друга. Однако если эти же синусоиды имеют фазы, быстро меняющиеся с изменением частоты, они будут складываться, то усиливая, то ослабляя друг друга.

Пример

Рассмотрим функцию

f ( x , t ) = 1 2 π ∫ R F ( ω ) e i ( k ( ω ) x − ω t ) d ω . {displaystyle f(x,t)={frac {1}{2pi }}int _{mathbb {R} }F(omega )e^{i{ig (}k(omega )x-omega t{ig )}},domega .}

Фазовое слагаемое в этой функции, ϕ = k ( ω ) x − ω t {displaystyle phi =k(omega )x-omega t} является «стационарным» когда

d d ω ( k ( ω ) x − ω t ) ≈ 0 {displaystyle {frac {d}{domega }}{ig (}kleft(omega ight)x-omega t{ig )}approx 0}

или, эквивалентно,

d ω d k ≈ x t . {displaystyle {frac {domega }{dk}}approx {frac {x}{t}}.}

Корень этого уравнения даёт доминирующую частоту ω dom ( x , t ) {displaystyle omega _{ ext{dom}}(x,t)} для заданных x {displaystyle x} и t {displaystyle t} . Если мы разложим φ в ряд Тейлора вблизи ω dom {displaystyle omega _{ ext{dom}}} и пренебрежём слагаемыми старшего порядка по отношению к ( ω − ω dom ) 2 {displaystyle (omega -omega _{ ext{dom}})^{2}} , то

ϕ ∼ k ( ω dom ) x − ω dom t + x 2 d 2 k d ω 2 ( ω − ω dom ) 2 . {displaystyle phi sim k(omega _{ ext{dom}})x-omega _{ ext{dom}}t+{frac {x}{2}}{frac {d^{2}k}{domega ^{2}}}(omega -omega _{ ext{dom}})^{2}.}

Когда x большое, даже малая разница ω − ω dom {displaystyle omega -omega _{ ext{dom}}} обеспечит быстрые осцилляции в подынтегральном выражении, приводя к сокращению. Таким образом, мы можем расширить границы интегрирования вне границы разложения в ряд Тейлора. Чтобы учесть отрицательные частоты, необходимо удвоить действительную часть:

f ( x , t ) = 1 2 π 2 Re ⁡ { exp ⁡ ( i [ k ( ω dom ) x − ω dom t ] ) | F ( ω dom ) | ∫ R exp ⁡ ( i x 2 d 2 k d ω 2 ( ω − ω dom ) 2 ) d ω } . {displaystyle f(x,t)={frac {1}{2pi }}2operatorname {Re} left{exp {ig (}i[k(omega _{ ext{dom}})x-omega _{ ext{dom}}t]{ig )}|F(omega _{ ext{dom}})|int _{mathbb {R} }exp left(i{frac {x}{2}}{frac {d^{2}k}{domega ^{2}}}(omega -omega _{ ext{dom}})^{2} ight),domega ight}.}

Проинтегрировав, имеем

f ( x , t ) ∼ | F ( ω dom ) | π 2 π x | d 2 k d ω 2 | cos ⁡ ( k ( ω dom ) x − ω dom t ± π 4 ) . {displaystyle f(x,t)sim {frac {|F(omega _{ ext{dom}})|}{pi }}{sqrt {frac {2pi }{xleft|{frac {d^{2}k}{domega ^{2}}} ight|}}}cos left(k(omega _{ ext{dom}})x-omega _{ ext{dom}}tpm {frac {pi }{4}} ight).}

Книги

• Федорюк М. В. Метод перевала. — 1977. — С. 366.
• А. И. Прилепко, Д. Ф. Калиниченко. Асимптотические методы и специальные функции. — М.: МИФИ, 1980. — С. 107.
• А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов. Теория функций комплексной переменной. — 5-е изд.. — М.: Наука, Физматлит, 1999. — С. 319. — ISBN 5-02-015233-1.