title-icon
Яндекс.Метрика

Вложение

01.03.2022


Вложение (или включение) — специального вида отображение одного экземпляра некоторой математической структуры во второй экземпляр такого же типа. А именно, вложение некоторого объекта X {displaystyle X} в Y {displaystyle Y} задаётся инъективным отображением, сохраняющим некоторую структуру. Что означает «сохранение структуры», зависит от типа математической структуры, объектами которой являются X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} . В терминах теории категорий отображение, «сохраняющее структуру», называют морфизмом.

То, что отображение f : X → Y {displaystyle f:X o Y} является вложением, часто обозначают «крючковатой стрелкой» таким образом: f : X ↪ Y {displaystyle f:Xhookrightarrow Y} .

Для заданных X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} может быть несколько возможных вложений. Во многих случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение — например, вложения натуральных чисел в целые, целых в рациональные, рациональных в вещественные, а вещественных в комплексные. В таких случаях обычно задают область определения X {displaystyle X} с образом f ( X ) ⊂ Y {displaystyle f(X)subset Y} , такую что X ⊆ Y {displaystyle Xsubseteq Y} .

Геометрия и топология

Общая топология

Отображение топологических пространств f : X → Y {displaystyle f:X o Y} называется вложением X {displaystyle X} в Y {displaystyle Y} , если f : X → f ( X ) ⊂ Y {displaystyle f:X o f(X)subset Y} — гомеоморфизм (на f ( X ) {displaystyle f(X)} рассматривается топология, индуцированная с Y {displaystyle Y} ). Каждое вложение непрерывно и инъективно.

Для пространства X {displaystyle X} существование вложения X → Y {displaystyle X o Y} — топологический инвариант. Мы можем различить два пространства, если одно из них можно вложить в Y {displaystyle Y} , а другое нельзя.

Дифференциальная топология

Пусть M , N {displaystyle M,N} — гладкие многообразия и f : M → N {displaystyle f:M o N} — гладкое отображение. Оно называется погружением, если дифференциал d f {displaystyle df} отображения f {displaystyle f} всюду инъективен. Гладкое вложение — это инъективное погружение, являющееся также вложением в вышеприведённом смысле (то есть гомеоморфизмом на свой образ).

Другими словами, прообраз вложения диффеоморфен своему образу, и, в частности, образ вложения должен быть подмногообразием. Погружение в свою очередь является локальным вложением (то есть для каждой точки x ∈ M {displaystyle xin M} существует окрестность U ⊂ M , x ∈ U {displaystyle Usubset M,xin U} , такая что f : U → N {displaystyle f:U o N} — вложение).

Важный частный случай — когда N=Rn. Интерес здесь представляет вопрос, насколько малым может быть n. Теорема Уитни о вложении утверждает, что достаточно n=2m, где m — размерность многообразия.

Алгебра

Теория колец

В теории колец вложением называется инъективный гомоморфизм колец f : A → B {displaystyle fcolon A o B} . Так как f ( A ) {displaystyle f(A)} является подкольцом кольца B {displaystyle B} , то вложение f {displaystyle f} устанавливает изоморфизм между кольцами A {displaystyle A} и f ( A ) {displaystyle f(A)} .

Теория категорий

В теории категорий не существует удовлетворительного определения вложения, которое подходило бы для всех категорий. Типичные требования на определение вложения в произвольной категории таковы: все изоморфизмы являются вложениями, композиция вложений — вложение, все вложения — мономорфизмы, любой экстремальный мономорфизм — вложение.

В конкретной категории вложение — это морфизм ƒ: AB, который действует инъективно на множествах-носителях и также является начальным морфизмом в следующем смысле: если g — функция из множества-носителя объекта C во множество-носитель A, и её композиция с ƒ является морфизмом ƒg: CB, то g также является морфизмом.

Как обычно в теории категорий, существует двойственное понятие, известное как фактор.