Коэффициент нелинейных искажений

Коэффициент нелинейных искажений (КНИ или KН) — величина для количественной оценки нелинейных искажений.

Определение

Коэффициент нелинейных искажений равен отношению среднеквадратичной суммы спектральных компонентов выходного сигнала, отсутствующих в спектре входного сигнала, к среднеквадратичной сумме всех спектральных компонент входного сигнала

K H = U 2 2 + U 3 2 + U 4 2 + … + U n 2 + … U 1 2 + U 2 2 + U 3 2 + … + U n 2 + … {displaystyle K_{mathrm {H} }={frac {sqrt {U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+U_{4}^{2}+ldots +U_{n}^{2}+ldots }}{sqrt {U_{1}^{2}+U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+ldots +U_{n}^{2}+ldots }}}}

КНИ — безразмерная величина и выражается обычно в процентах. Кроме КНИ, уровень нелинейных искажений часто выражают и через коэффициент гармонических искажений (КГИ или KГ) — величину, выражающую степень нелинейных искажений устройства (усилителя и др.) и равную отношению среднеквадратичного напряжения суммы высших гармоник сигнала, кроме первой, к напряжению первой гармоники при воздействии на вход устройства синусоидального сигнала.

K Γ = U 2 2 + U 3 2 + U 4 2 + … + U n 2 + … U 1 {displaystyle K_{Gamma }={frac {sqrt {U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+U_{4}^{2}+ldots +U_{n}^{2}+ldots }}{U_{1}}}}

КГИ, так же, как и КНИ, выражается в процентах и связан с ним соотношением

K Γ = K H 1 − K H 2 {displaystyle K_{Gamma }={frac {K_{mathrm {H} }}{sqrt {1-K_{mathrm {H} }^{2}}}}}

Очевидно, что для малых значений КГИ и КНИ совпадают в первом приближении. Интересно, что в западной литературе обычно пользуются КГИ, тогда как в отечественной литературе традиционно предпочитают КНИ.

Важно также отметить, что КНИ и КГИ — это лишь количественные меры искажений, но не качественные. Например, значение КНИ (КГИ), равное 3% ничего не говорит о характере искажений, т.е. о том, как в спектре сигнала распределены гармоники, и каков, например, вклад НЧ или ВЧ составляющих. Так, в спектрах ламповых УМЗЧ обычно преобладают низшие гармоники, что часто воспринимается на слух как «тёплый ламповый звук», а в транзисторных УМЗЧ искажения более равномерно распределены по спектру, и он более плоский, что часто воспринимается как «типичный транзисторный звук» (хотя спор этот во многом зависит от личных ощущений и привычек человека).

Согласно действующему "ГОСТ 16465-70. Государственный стандарт. Сигналы радиотехнические измерительные. Термины и определения." наименование "Коэффициент нелинейных искажений" недопустимо к применению (недопустимый к применению термин-синоним). Правильно использовать только термин "Коэффициент гармоник".

Примеры расчёта КГИ

Для многих стандартных сигналов КГИ может быть подсчитан аналитически. Так, для симметричного прямоугольного сигнала (меандра)

K Γ = π 2 8 − 1 ≈ 0.483 = 48.3 % {displaystyle K_{Gamma },=,{sqrt {{frac {,pi ^{2}}{8}}-1,}}approx ,0.483,=,48.3%}

Идеальный пилообразный сигнал имеет КГИ

K Γ = π 2 6 − 1 ≈ 0.803 = 80.3 % {displaystyle K_{Gamma },=,{sqrt {{frac {,pi ^{2}}{6}}-1,}}approx ,0.803,=,80.3%}

а симметричный треугольный

K Γ = π 4 96 − 1 ≈ 0.121 = 12.1 % {displaystyle K_{Gamma },=,{sqrt {{frac {,pi ^{4}}{96}}-1,}}approx ,0.121,=,12.1%}

Несимметричный прямоугольный импульсный сигнал с соотношением длительности импульса к периоду, равному μ обладает КГИ

K Γ ( μ ) = μ ( 1 − μ ) π 2 2 sin 2 ⁡ π μ − 1 , 0 < μ < 1 {displaystyle K_{Gamma },(mu )={sqrt {{frac {mu (1-mu )pi ^{2},}{2sin ^{2}pi mu }}-1;}},,qquad 0<mu <1} ,

который достигает минимума (≈0.483) при μ=0.5, т.е. тогда, когда сигнал становится симметричным меандром. Кстати, фильтрованием можно добиться значительного снижения КГИ этих сигналов, и таким образом получать сигналы, близкие по форме к синусоидальным. Например, симметричный прямоугольный сигнал (меандр) с изначальным КГИ в 48.3%, после прохождения через фильтр Баттерворта второго порядка (с частотой среза, равной частоте основной гармоники) имеет КГИ уже в 5.3%, а если фильтр четвёртого порядка — то КГИ=0.6%. Следует отметить, что чем более сложный сигнал на входе фильтра и чем более сложный сам фильтр (а точнее, его передаточная функция), тем более громоздкими и трудоёмкими будут вычисления КГИ. Так, стандартный пилообразный сигнал, прошедший через фильтр Баттерворта первого порядка, имеет КГИ уже не 80.3% а 37.0%, который в точности даётся следующим выражением

K Γ = π 2 3 − π c t h π ≈ 0.370 = 37.0 % {displaystyle K_{Gamma },=,{sqrt {{frac {,pi ^{2}}{3}}-pi ,mathrm {cth} ,pi ,}},approx ,0.370,=,37.0%}

А КГИ того же сигнала, прошедшего через такой же фильтр, но второго порядка, уже будет даваться достаточно громоздкой формулой

K Γ = π c t g π 2 ⋅ c t h 2 π 2 − c t g 2 π 2 ⋅ c t h π 2 − c t g π 2 − c t h π 2 2 ( c t g 2 π 2 + c t h 2 π 2 ) + π 2 3 − 1 ≈ 0.181 = 18.1 % {displaystyle K_{Gamma },={sqrt {pi ,{frac {,mathrm {ctg} ,{dfrac {pi }{sqrt {2,}}}cdot ,mathrm {cth} ^{2!}{dfrac {pi }{sqrt {2,}}}-,mathrm {ctg} ^{2!}{dfrac {pi }{sqrt {2,}}}cdot ,mathrm {cth} ,{dfrac {pi }{sqrt {2,}}}-,mathrm {ctg} ,{dfrac {pi }{sqrt {2,}}}-,mathrm {cth} ,{dfrac {pi }{sqrt {2,}}};}{{sqrt {2,}}left(mathrm {ctg} ^{2!}{dfrac {pi }{sqrt {2,}}}+,mathrm {cth} ^{2!}{dfrac {pi }{sqrt {2,}}}! ight)}},+,{frac {,pi ^{2}}{3}},-,1;}};approx ;0.181,=,18.1%}

Если же рассматривать вышеупомянутый несимметричный прямоугольный импульсный сигнал, прошедший через фильтр Баттерворта p-го порядка, то тогда

K Γ ( μ , p ) = csc ⁡ π μ ⋅ μ ( 1 − μ ) π 2 − sin 2 π μ − π 2 ∑ s = 1 2 p c t g π z s z s 2 ∏ l = 1 l ≠ s 2 p 1 z s − z l + π 2 R e ∑ s = 1 2 p e i π z s ( 2 μ − 1 ) z s 2 sin ⁡ π z s ∏ l = 1 l ≠ s 2 p 1 z s − z l {displaystyle K_{Gamma },(mu ,p)=csc pi mu ,cdot !{sqrt {mu (1-mu )pi ^{2}-,sin ^{2}!pi mu ,-,{frac {,pi }{2}}sum _{s=1}^{2p}{frac {,mathrm {ctg} ,pi z_{s}}{z_{s}^{2}}}prod limits _{scriptstyle l=1 atop scriptstyle l eq s}^{2p}!{frac {1}{,z_{s}-z_{l},}},+,{frac {,pi }{2}},mathrm {Re} sum _{s=1}^{2p}{frac {e^{ipi z_{s}(2mu -1)}}{z_{s}^{2}sin pi z_{s}}}prod limits _{scriptstyle l=1 atop scriptstyle l eq s}^{2p}!{frac {1}{,z_{s}-z_{l},}},}}}

где 0<μ<1 и

z l ≡ exp ⁡ i π ( 2 l − 1 ) 2 p , l = 1 , 2 , … , 2 p {displaystyle z_{l}equiv exp {frac {ipi (2l-1)}{2p}},,qquad l=1,2,ldots ,2p}

подробности вычислений — см. Ярослав Благушин и Эрик Моро.

Измерения

• В низкочастотном (НЧ) диапазоне для измерения КНИ применяются измерители нелинейных искажений (измерители коэффициента гармоник).
• На более высоких частотах (СЧ, ВЧ) используют косвенные измерения с помощью анализаторов спектра или селективных вольтметров.

Типовые значения КНИ и КГИ

Ниже приведены некоторые типовые значения для КНИ, и в скобках, для КГИ.

• 0 % (0%) — форма сигнала представляет собой идеальную синусоиду.
• 3 % (3 %) — форма сигнала отлична от синусоидальной, но искажения незаметны на глаз.
• 5 % (5 %) — отклонение формы сигнала от синусоидальной заметной на глаз по осциллограмме.
• 10 % (10 %) — стандартный уровень искажений, при котором считают реальную мощность (RMS) УМЗЧ, заметен на слух.
• 12 % (12 %) — идеально симметричный треугольный сигнал.
• 21 % (22 %) — «типичный» сигнал трапецеидальной или ступенчатой формы.
• 43 % (48 %) — идеально симметричный прямоугольный сигнал (меандр).
• 63 % (80 %) — идеальный пилообразный сигнал.