title-icon
Яндекс.Метрика

Теорема Кэли (теория групп)

11.02.2022


В теории групп теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа ( G , ∘ ) {displaystyle (G,circ )} изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент a ∈ G {displaystyle ain G} сопоставляется с перестановкой π a {displaystyle pi _{a}} , задаваемой тождеством π a ( g ) = a ∘ g , {displaystyle pi _{a}(g)=acirc g,} где g — произвольный элемент группы G.

Доказательство

Пусть G {displaystyle G} — конечная группа порядка n {displaystyle n} . Нужно построить изоморфизм с G {displaystyle G} в подгруппу перестановок S n {displaystyle S_{n}} . Для этого достаточно сопоставить каждому элементу g в группе G перестановку элементов самой G (можно идентифицировать перестановку G с перестановкой любого другого множества при помощи взаимно-однозначного соответствия их элементов). Другими словами, нужно построить функцию φ : G → S G {displaystyle varphi :G ightarrow S_{G}} , где S G {displaystyle S_{G}} является собранием перестановок G. Группу φ ( g ) : G → G {displaystyle varphi (g):G ightarrow G} определяем с помощью умножения слева ( φ ( g ) ) ( x ) = g x {displaystyle (varphi (g))(x)=gx} .

Докажем, что мы получили перестановку. Если g x = g y {displaystyle gx=gy} , то x = y {displaystyle x=y} , так как G группа, в частности все её элементы обратимы (существует g − 1 {displaystyle g^{-1}} ). Кроме того, действие φ ( g h ) {displaystyle varphi (gh)} на элемент группы x равняется   ( φ ( g h ) ) ( x ) = ( g h ) x {displaystyle (varphi (gh))(x)=(gh)x} и это равняется φ ( g ) ( φ ( h ) ( x ) ) = φ ( g ) ( h x ) = g ( h x ) {displaystyle varphi (g)(varphi (h)(x))=varphi (g)(hx)=g(hx)} в виду ассоциативности G. Наконец, если φ ( g ) = φ ( h ) {displaystyle varphi (g)=varphi (h)} то тогда g = φ ( g ) ( 1 ) = φ ( h ) ( 1 ) = h {displaystyle g=varphi (g)(1)=varphi (h)(1)=h} и поэтому φ {displaystyle varphi } является инъективной (1-1).

Пример

Рассмотрим группу G = Z 4 {displaystyle G=mathbb {Z} _{4}} с заданной операцией + . {displaystyle +.} Найдём её отображение в S 4 , {displaystyle S_{4},} то есть найдём подгруппу S 4 , {displaystyle S_{4},} изоморфную G . {displaystyle G.}

Определим отображение φ : Z 4 → S 4 {displaystyle varphi :mathbb {Z} _{4} ightarrow S_{4}}

φ ( 0 ) = [ 0 1 2 3 0 1 2 3 ] {displaystyle varphi (0)={egin{bmatrix}0&1&2&3&1&2&3end{bmatrix}}} φ ( 1 ) = [ 0 1 2 3 1 2 3 0 ] {displaystyle varphi (1)={egin{bmatrix}0&1&2&31&2&3&0end{bmatrix}}} φ ( 2 ) = [ 0 1 2 3 2 3 0 1 ] {displaystyle varphi (2)={egin{bmatrix}0&1&2&32&3&0&1end{bmatrix}}} φ ( 3 ) = [ 0 1 2 3 3 0 1 2 ] {displaystyle varphi (3)={egin{bmatrix}0&1&2&33&0&1&2end{bmatrix}}}

В данном построении перестановка φ ( n ) {displaystyle varphi (n)} для каждого n {displaystyle n} задаёт «таблицу сложения» с числом n {displaystyle n} . Для примера, число 2 в φ ( 1 ) {displaystyle varphi (1)} переходит на сумму (операцию группы G = Z 4 {displaystyle G=mathbb {Z} _{4}} ) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы, для которого определяется перестановка). Таким образом, φ ( 0 ) {displaystyle varphi (0)} задаёт тождественное отображение i d G ( g ) = g {displaystyle mathrm {id} _{G}(g)=g} .

Отображение φ {displaystyle varphi } является гомоморфизмом. К примеру, φ ( 1 ) 2 = φ ( 2 ) = φ ( 1 + 1 ) {displaystyle varphi (1)^{2}=varphi (2)=varphi (1+1)} . Из свойств гомоморфизма в частности следует, что множество полученных перестановок формируют группу.