Теория операторов

Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение T {displaystyle T} из векторного пространства X {displaystyle X} в векторное пространство Y {displaystyle Y} называется линейным оператором если T ( α x + β y ) = α T ( x ) + β T ( y ) {displaystyle T(alpha x+eta y)=alpha T(x)+eta T(y)} для любых x {displaystyle x} и y {displaystyle y} в X {displaystyle X} и любых скаляров α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } . Часто пишут T x {displaystyle Tx} вместо T ( x ) {displaystyle T(x)} . Линейный оператор из нормированного пространства X {displaystyle X} в нормированное пространство Y {displaystyle Y} называется ограниченным если найдется положительное вещественное число M {displaystyle M} такое что ‖ T x ‖ ⩽ M ‖ x ‖ {displaystyle lVert Tx Vert leqslant MlVert x Vert } для всех x {displaystyle x} в X {displaystyle X} . Наименьшая константа M {displaystyle M} удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора T {displaystyle T} и обозначается ‖ T ‖ {displaystyle lVert T Vert } . Нетрудно видеть, что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства X {displaystyle X} в нормированное пространство Y {displaystyle Y} обозначается L ( X , Y ) {displaystyle L(X,;Y)} . В случае когда X = Y {displaystyle X=Y} пишут L ( X ) {displaystyle L(X)} вместо L ( X , X ) {displaystyle L(X,;X)} . Если H {displaystyle H} — гильбертово пространство, то обычно пишут B ( H ) {displaystyle B(H)} вместо L ( H ) {displaystyle L(H)} . На L ( X , Y ) {displaystyle L(X,;Y)} можно ввести структуру векторного пространства через ( T + S ) x = T x + S x {displaystyle (T+S)x=Tx+Sx} и ( α T ) x = T ( α x ) = α ( T x ) {displaystyle (alpha T)x=T(alpha x)=alpha (Tx)} , где T , S ∈ L ( X , Y ) {displaystyle T,;Sin L(X,;Y)} , x , y ∈ X {displaystyle x,;yin X} , а α {displaystyle alpha } — произвольный скаляр. С введённой операторной нормой L ( X , Y ) {displaystyle L(X,;Y)} превращается в нормированное пространство.

В частности, ‖ S + T ‖ ⩽ ‖ S ‖ + ‖ T ‖ {displaystyle lVert S+T Vert leqslant lVert S Vert +lVert T Vert } и ‖ α T ‖ = | α | ⋅ ‖ T ‖ {displaystyle lVert alpha T Vert =left|alpha ight|cdot lVert T Vert } для любых T , S ∈ L ( X , Y ) {displaystyle T,;Sin L(X,;Y)} и произвольного скаляра α {displaystyle alpha } . Пространство L ( X , Y ) {displaystyle L(X,;Y)} является банаховым тогда и только тогда когда Y {displaystyle Y} — банахово.

Пусть X , Y {displaystyle X,;Y} и Z {displaystyle Z} — нормированные пространства, S ∈ L ( X , Y ) {displaystyle Sin L(X,;Y)} и T ∈ L ( Y , Z ) {displaystyle Tin L(Y,;Z)} . Композиция S {displaystyle S} и T {displaystyle T} обозначается T S {displaystyle TS} и называется произведением операторов S {displaystyle S} и T {displaystyle T} . При этом T S ∈ L ( X , Z ) {displaystyle TSin L(X,;Z)} и ‖ T S ‖ ⩽ ‖ T ‖ ⋅ ‖ S ‖ {displaystyle lVert TS Vert leqslant lVert T Vert cdot lVert S Vert } . Если X {displaystyle X} — банахово пространство, то L ( X ) {displaystyle L(X)} , оснащённое произведением, является банаховой алгеброй.

В теории операторов можно выделить несколько основных разделов: