title-icon
Яндекс.Метрика

Цепной комплекс

06.11.2021


Цепной комплекс и двойственное понятие коцепной комплекс — основные понятия гомологической алгебры.

Эти понятия первоначально использовались в алгебраической топологии для изучения топологических пространств. В гомологической алгебре рассматриваются как абстрактные алгебраические структуры, безотносительно к какому-либо топологическому пространству.

Для цепных комплексов определяются их группы гомологий (группы когомологий для коцепных комплексов). Цепные комплексы также могут быть определены в произвольной абелевой категории.

Определения

Цепным комплексом называется последовательность ( K ∙ , ∂ ∙ ) {displaystyle (K_{ullet },partial _{ullet })} модулей и гомоморфизмов ∂ n : K n → K n − 1 {displaystyle partial _{n}:K_{n} o K_{n-1}} , называемых граничными операторами или дифференциалами:

… ← K n − 1 ← ∂ n K n ← ∂ n + 1 K n + 1 ← … {displaystyle ldots {xleftarrow {}}K_{n-1}{xleftarrow {partial _{n}}}K_{n}{xleftarrow {partial _{n+1}}}K_{n+1}{xleftarrow {}}ldots } ,

такая что ∂ n ∂ n + 1 = 0 {displaystyle partial _{n}partial _{n+1}=0} . Элементы K n {displaystyle K_{n}} называются n {displaystyle n} -мерными цепями, элементы ядра Z n K = Ker ⁡ ∂ n {displaystyle Z_{n}K=operatorname {Ker} partial _{n}} — n {displaystyle n} -мерными циклами, элементы образа B n K = Im ⁡ ∂ n + 1 {displaystyle B_{n}K=operatorname {Im} partial _{n+1}} — n {displaystyle n} -мерными границами. Из ∂ n ∂ n + 1 = 0 {displaystyle partial _{n}partial _{n+1}=0} следует, что B n K ⊂ Z n K {displaystyle B_{n}Ksubset Z_{n}K} (полуточность). Если к тому же B n K = Z n K {displaystyle B_{n}K=Z_{n}K} , то такой комплекс называется точным.

Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с морфизмами φ ∙ : ( K ∙ , ∂ ∙ K ) → ( L ∙ , ∂ ∙ L ) {displaystyle varphi _{ullet }colon (K_{ullet },partial _{ullet }^{K}) o (L_{ullet },partial _{ullet }^{L})} , где φ ∙ {displaystyle varphi _{ullet }} последовательность морфизмов φ n : K n → L n {displaystyle varphi _{n}colon K_{n} o L_{n}} , такая что φ n {displaystyle varphi _{n}} коммутирует с дифференциалом, то есть ∂ n L φ n = φ n − 1 ∂ n K {displaystyle partial _{n}^{L}varphi _{n}=varphi _{n-1}partial _{n}^{K}} .

Цепной комплекс также можно определить как градуированный модуль M ∗ {displaystyle M_{*}} , снабжённый дифференциалом ∂ : M ∗ → M ∗ {displaystyle partial :M_{*} o M_{*}} степени −1.

Также можно определить комплексы, состоящие из объектов произвольной абелевой категории, например, категории пучков абелевых групп.

Коцепной комплекс

Коцепной комплекс — понятие, двойственное цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей ( Ω ∙ , d ∙ ) {displaystyle (Omega ^{ullet },d^{ullet })} и гомоморфизмов d n : Ω n → Ω n + 1 {displaystyle d^{n}colon Omega ^{n} o Omega ^{n+1}} , таких что

d n + 1 d n = 0 {displaystyle d^{n+1}d^{n}=0}

Коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью.

… → Ω n − 1 → d n − 1 Ω n → d n Ω n + 1 → d n + 1 … {displaystyle ldots {xrightarrow {}}Omega ^{n-1}{xrightarrow {d^{n-1}}}Omega ^{n}{xrightarrow {d^{n}}}Omega ^{n+1}{xrightarrow {d^{n+1}}}ldots }

Свойства и понятия, связанные с коцепными комплексами, двойственны аналогичным понятиям и свойствам цепных комплексов.

Гомологии и когомологии

n-мерная группа гомологий H n {displaystyle H_{n}} цепного комплекса ( K ∙ , ∂ ∙ ) {displaystyle (K_{ullet },partial _{ullet })} является его мерой точности в n-ом члене и определяется как

H n ( K ∙ , ∂ ∙ ) = B n ( K ) / Z n ( K ) = K e r ∂ n / I m ∂ n + 1 {displaystyle H_{n}(K_{ullet },partial _{ullet })=B_{n}(K)/Z_{n}(K)=mathrm {Ker} ,partial _{n}/mathrm {Im} ,partial _{n+1}} . Для точного комплекса H n = 0 {displaystyle H_{n}=0}

Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:

H n ( Ω ∙ , d ∙ ) = B n / Z n = K e r d n / I m d n − 1 {displaystyle H^{n}(Omega ^{ullet },d^{ullet })=B^{n}/Z^{n}=mathrm {Ker} ,d^{n}/mathrm {Im} ,d^{n-1}}

Гомоморфизмы цепных комплексов

Гомоморфизмом цепных комплексов ( A ∙ , δ ∙ ) {displaystyle (A^{ullet },delta ^{ullet })} и ( B ∙ , γ ∙ ) {displaystyle (B^{ullet },gamma ^{ullet })} называется такое отображение f : A n → B n , ∀ n ∈ N , {displaystyle fcolon A_{n} o B_{n},forall nin mathbb {N} ,} что следующая диаграмма оказывается коммутативной:

Гомоморфизм цепных комплексов индуцирует гомоморфизм их групп гомологий.

Тензорное произведение комплексов и внутренний Hom

Если V = V ∗ {displaystyle {}_{*}} и W = W ∗ {displaystyle {}_{*}} — цепные комплексы, то их тензорное произведение V ⊗ W {displaystyle Votimes W} — это цепной комплекс, элементы степени i которого имеют вид

( V ⊗ W ) i = ⨁ { j , k | j + k = i } V j ⊗ W k , {displaystyle (Votimes W)_{i}=igoplus _{{j,k|j+k=i}}V_{j}otimes W_{k},}

а дифференциал задаётся формулой

∂ ( a ⊗ b ) = ∂ a ⊗ b + ( − 1 ) | a | a ⊗ ∂ b , {displaystyle partial (aotimes b)=partial aotimes b+(-1)^{left|a ight|}aotimes partial b,}

где a и b — произвольные однородные элементы V и W соответственно, а | a | {displaystyle left|a ight|} обозначает степень элемента a.

Это тензорное произведение позволяет снабдить категорию цепных комплексов K-модулей Ch K {displaystyle { ext{Ch}}_{K}} (для произвольного коммутативного кольца K) структурой симметричной моноидальной категории. Операция заузливания задаётся на разложимых тензорах формулой

a ⊗ b ↦ ( − 1 ) | a | | b | b ⊗ a {displaystyle aotimes bmapsto (-1)^{left|a ight|left|b ight|}botimes a} .

Знак необходим для того, чтобы операция заузливания была гомоморфизмом цепных комплексов. Более того, в категории цепных комплексов K-модулей имеется внутренний Hom: для цепных комплексов V и W, внутренний Hom для V и W, обозначаемый hom(V,W), — это цепной комплекс, элементы степени n которого имеют вид Π i Hom K ( V i , W i + n ) {displaystyle Pi _{i}{ ext{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})} , а дифференциал задаётся формулой

( ∂ f ) ( v ) = ∂ ( f ( v ) ) − ( − 1 ) | f | f ( ∂ ( v ) ) {displaystyle (partial f)(v)=partial (f(v))-(-1)^{left|f ight|}f(partial (v))} .

Имеется естественный изоморфизм

Hom ( A ⊗ B , C ) ≅ Hom ( A , Hom ( B , C ) ) {displaystyle { ext{Hom}}(Aotimes B,C)cong { ext{Hom}}(A,{ ext{Hom}}(B,C))} .

Цепная гомотопия

Цепная гомотопия D : X → Y {displaystyle Dcolon X o Y} между гомоморфизмами комплексов f {displaystyle f} и g {displaystyle g} — это такой гомоморфизм цепных комплексов ( X ∙ , ∂ ∙ ) {displaystyle (X^{ullet },partial ^{ullet })} и ( Y ∙ , δ ∙ ) {displaystyle (Y^{ullet },delta ^{ullet })} степени +1 (то есть D k : X k → Y k + 1 {displaystyle D_{k}colon X_{k} o Y_{k+1}} ), для которого

δ D + D ∂ = g − f {displaystyle delta D+Dpartial =g-f} δ k + 1 D k + D k − 1 ∂ k = g k − f k {displaystyle delta _{k+1}D_{k}+D_{k-1}partial _{k}=g_{k}-f_{k}}

Для коцепных комплексов соответствующая коммутативная диаграмма имеет вид