title-icon
Яндекс.Метрика

Скалярная кривизна

22.10.2021


Скалярная кривизна — один из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором. Обычно обозначается S c {displaystyle mathrm {Sc} } или R {displaystyle mathrm {R} } .

Определение

Скалярную кривизну можно определить как след след тензора Риччи или как удвоенный след оператора кривизны.

Пользуясь соглашением Энштейна, это можно записать через компоненты метрического тензора g {displaystyle g} и тензора Риччи R i c {displaystyle mathrm {Ric} }

R = g μ ν R i c μ ν . {displaystyle R=g^{mu u },mathrm {Ric} _{mu u }.}

Уравнения гравитационного поля

В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объему от скалярной кривизны:

S G = ϰ ∫ M R {displaystyle S_{G}=varkappa int limits _{M}R}

Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путём взятия производной Эйлера — Лагранжа от скалярной плотности кривизны R {displaystyle R} .

Свойства

  • Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с удвоенной гауссовой кривизной многообразия.
    • Интеграл по гауссовой кривизне равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на 2 π {displaystyle 2pi } — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса — Бонне.