Скалярная кривизна
Скалярная кривизна — один из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором. Обычно обозначается S c {displaystyle mathrm {Sc} } или R {displaystyle mathrm {R} } .
Определение
Скалярную кривизну можно определить как след след тензора Риччи или как удвоенный след оператора кривизны.
Пользуясь соглашением Энштейна, это можно записать через компоненты метрического тензора g {displaystyle g} и тензора Риччи R i c {displaystyle mathrm {Ric} }
R = g μ ν R i c μ ν . {displaystyle R=g^{mu u },mathrm {Ric} _{mu u }.}Уравнения гравитационного поля
В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объему от скалярной кривизны:
S G = ϰ ∫ M R {displaystyle S_{G}=varkappa int limits _{M}R}Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путём взятия производной Эйлера — Лагранжа от скалярной плотности кривизны R {displaystyle R} .
Свойства
- Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с удвоенной гауссовой кривизной многообразия.
- Интеграл по гауссовой кривизне равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на 2 π {displaystyle 2pi } — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса — Бонне.