Кососимметричная матрица
Кососимметричная (кососимметрическая или антисимметричная) матрица — квадратная матрица A {displaystyle A} над полем k {displaystyle k} характеристики, отличной от 2, удовлетворяющая соотношению:
A T = − A , {displaystyle A^{T}=-A,}где A T {displaystyle A^{T}} — транспонированная матрица.
Для n × n {displaystyle n imes n} матрицы A {displaystyle A} это соотношение эквивалентно:
a i , j = − a j , i {displaystyle a_{i,j}={}-a_{j,i}} для всех i , j = 1 , 2 , … , n {displaystyle i,j=1,2,ldots ,n} ,где a i , j {displaystyle a_{i,j}} — элемент i {displaystyle i} -ой строки и j {displaystyle j} -го столбца матрицы A {displaystyle A} .
Свойства
- Ранг кососимметрической матрицы всегда чётный.
- Любая квадратная матрица В над полем характеристики, отличной от 2, есть сумма симметрической и кососимметрической матриц, которые определяются единственным образом.
- Ненулевые корни характеристического многочлена вещественной кососимметрической матрицы — чисто мнимые числа.
- Вещественная кососимметрическая матрица подобна блочно-диагональной матрице с нулевыми недиагональными блоками и диагональными блоками 2 × 2 {displaystyle 2 imes 2} вида
- Множество всех кососимметрических матриц порядка n {displaystyle n} над полем k {displaystyle k} образует алгебру Ли над k {displaystyle k} относительно сложения матриц и коммутирования: