Порядок Брухата

Порядок Брухата

28.03.2021


Порядок Брухата (он же строгий порядок, строгий порядок Брухата, порядок Шевалле, порядок Брухата–Шевалле, порядок Шевалле–Брухата) — это частичный порядок на элементах группы Коксетера, который соответствует порядку включения на многообразиях Шуберта.

История

Порядок Брухата на многообразиях Шуберта флагов многообразия или грасманиана первым изучал Эресманн, а аналог для более общих полупростых алгебраических групп изучал Шевалле. Верма начал комбинаторное изучение порядка Брухата на группе Вейля и ввёл название «порядок Брухата» ввиду связи с разложением Брухата.

Левые и правые слабые упорядочения Брухата изучал Бьёрнер.

Определение

Если (W,S) — система Коксетера с порождающими элементами S, то порядок Брухата является частичным порядком на группе W. Напомним, что приведённое слово для элемента w группы W — это выражение минимальной длины, состоящее из элементов S, а длина l(w) элемента w — это длина приведённого слова.

  • При (строгом) порядке Брухата uv, если некоторая подстрока некоторого (или любого) приведённого слова для v является приведённым словом для u.

(Заметим, что здесь подстрока не предполагает последовательное расположение элементов.)

  • При слабом левом порядке (Брухата) uLv, если некоторая конечная подстрока (то есть подстрока, которой слово v кончается), некоторого приведённого слова для v является приведённым словом для u.
  • При слабом правом порядке (Брухата) uRv, если некоторая начальная подстрока (т.е. подстрока, с которой слово v начинается) некоторого приведённого слова для v является приведённым словом для u.

Более подробно о слабых порядка см. в статье «Слабый порядок перестановок».

Граф Брухата

Граф Брухата — это ориентированный граф, связанный со строгим порядком Брухата. Множеством вершин графа служат элементы группы Коксетера, а множество рёбер состоит из ориентированных рёбер (u, v), для которых u = t v для некоторого отражения t и l(u) < l(v). Можно рассматривать граф как ориентированный граф с помеченными рёбрами, где метки определяются отражениями. (Можно определить граф Брухата с умножением на t справа. Как граф, получим изоморфный объект, однако метки рёбер будут другими.)

Сильный порядок Брухата на симметричной группе (перестановок) имеет функцию Мёбиуса, задаваемую равенством μ ( π , σ ) = ( − 1 ) ℓ ( σ ) − ℓ ( π ) {displaystyle mu (pi ,sigma )=(-1)^{ell (sigma )-ell (pi )}} и в этом случае частично упорядоченное множество будет эйлеровым, что означает, что функция Мёбиуса задаётся функцией ранга на частично упорядоченном множестве.