Интеграл Фреше

Интеграл Фреше — интеграл, задаваемый на множестве элементов F {displaystyle F} произвольной природы.

Для определения интеграла Фреше на множестве F {displaystyle F} рассматривается некоторое σ {displaystyle sigma } -кольцо множеств T {displaystyle T} с заданной на нём счётно-аддитивной функцией множества Φ ( E ) {displaystyle Phi (E)} c вариациями W ¯ ( Φ , E ) {displaystyle {overline {W}}(Phi ,E)} и W _ ( Φ , E ) {displaystyle {underline {W}}(Phi ,E)} . Пусть f ( x ) {displaystyle f(x)} — неотрицательная действительная функция элемента x {displaystyle x} пространства F {displaystyle F} . Функция f ( x ) {displaystyle f(x)} называется суммируемой относительно Φ {displaystyle Phi } на множестве E ⊂ T {displaystyle Esubset T} , если сходится ряд ∑ i M i W ( Φ , E i ) {displaystyle sum _{i}M_{i}W(Phi ,E_{i})} при некотором разбиении множества E {displaystyle E} на непересекающиеся слагаемые E i {displaystyle E_{i}} , E i ⊂ T {displaystyle E_{i}subset T} , M i = sup E i f {displaystyle M_{i}=sup _{E_{i}}f} .

Интеграл в смысле Фреше от функции f ( x ) {displaystyle f(x)} определяется как разность интегралов относительно W ¯ ( Φ , E ) {displaystyle {overline {W}}(Phi ,E)} и W _ ( Φ , E ) {displaystyle {underline {W}}(Phi ,E)} .

Необходимые и достаточные условия существования интеграла Фреше

Для того, чтобы суммируемая функция f ( x ) {displaystyle f(x)} была интегрируемой в смысле Фреше, необходимо и достаточно, чтобы при всяком действительном a {displaystyle a} множество E x ( f ( x ) > a ) {displaystyle E_{x}(f(x)>a)} отличалось от множества из σ {displaystyle sigma } -кольца T {displaystyle T} на некоторое подмножество множества меры нуль, принадлежащего σ {displaystyle sigma } -кольцу.