Тензор напряжений и тензор деформаций

Напряженное и деформированное состояния в произвольно выбранной точке среды в общем случае определяют сочетаниями двух тензоров, называемых соответственно тензором напряжений To и тензором деформаций Те,

характеризуемых девятью компонентами нормального o и касательного напряжений т и девятью компонентами относительных линейных удлинений (укорочений) e и деформации сдвига у.

Из условия равенства нулю суммы моментов сил, действующих на гранях элементарного параллелепипеда (рис. 19), относительно осей координат х, у, z легко установить, что действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательного напряжения равны (закон парности касательных напряжений):

Следовательно, число неизвестных тензора напряжений равно шести. Точно также, поскольку компоненты относительной деформации сдвига попарно равны друг другу,

число неизвестных тензора деформаций Te равно шести.
Первые буквы индексов касательных напряжений показывают направление действия, а вторые — направление нормали к той площадке, на которой они действуют.
В механике грунтов положительными нормальными напряжениями считаются сжимающие напряжения. За положительное направление касательного напряжения принято считать положительное направление осей координат, если направление сжимающего напряжения по той же площадке совпадает с положительным направлением координатной оси, параллельно которой оно действует.
Если известны все компоненты тензора напряжения Tо, главные нормальные напряжения о можно определить из решения следующего кубического уравнения:

I1(Tо) представляет собой сумму членов, расположенных по главной диагонали тензора напряжений (2.140); I2(Tо) — сумму миноров главных компонентов того же тензора, a I3(Tо) — развернутый в сторону определитель (2.140). Из решения (2.144) получаются три действительных корня о1 о2 и о3 (о1 > о2 > о3).
Напряжения в данной точке не должны зависеть от выбора системы координат, т. е, должны быть инвариантными по отношению преобразования координат. Это значит, что и коэффициенты кубического уравнения не должны зависеть от выбора координатных осей. Поэтому I1(To), I2(To), I3(To) называются инвариантами тензора напряжений.
Когда три взаимно перпендикулярные грани элементарного параллелепипеда являются главными, т. е. на них действуют только главные нормальные напряжения o1, o2, o3 (тxy = тzy = тz = 0), то на площадках, которые составляют 45° с их направлениями, действуют наибольшие касательные напряжения (2.31), равные полуразности главных нормальных напряжений:

Максимальное значение наибольшего касательного напряжения равно т31 (2.31).
На площадках действия наибольших касательных напряжений действуют также нормальные напряжения, которые равны полусумме главных нормальных напряжений (2.32).
Если известны компоненты тензора деформации (2.140) Tе, то по аналогии с изложенным выше можно из кубического уравнения вида (2.144) определить главные деформации е1, е2, е3, а также величины наибольших сдвигов: y12 = (e1—е2), у23 = (е2—е3) и у31 = (е3—е1).