Изолированная особая точка

Изолированная особая точка

28.10.2021


Изолированная особая точка — точка, в некоторой проколотой окрестности, в которой функция f ( z ) {displaystyle f(z)} однозначна и аналитична, а в самой точке либо не задана, либо не дифференцируема.

Классификация

Если a {displaystyle a} — изолированная особая точка для f ( z ) {displaystyle f(z)} , то f ( z ) {displaystyle f(z)} , будучи аналитической в некоторой проколотой окрестности этой точки, разлагается в ряд Лорана, сходящийся в этой окрестности.

f ( z ) = ∑ n ∈ Z a n ( z − a ) n = ∑ n = 0 ∞ a n ( z − a ) n + ∑ n = 1 ∞ a − n ( z − a ) n {displaystyle f(z)=sum _{nin mathbb {Z} }a_{n}(z-a)^{n}=sum _{n=0}^{infty }a_{n}(z-a)^{n}+sum _{n=1}^{infty }{frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}} .

Первая часть этого разложения называется правильной частью ряда Лорана, вторая — главной частью ряда Лорана.

Тип особой точки функции определяется по главной части этого разложения.