Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания, или очередей (англ. queueing theory), — раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящих из неё, длительности ожидания и длины очередей. В теории массового обслуживания используются методы теории вероятностей и математической статистики.

История

Теорию потока однородных событий, которая легла в основу теории массового обслуживания, разработал советский математик А. Я. Хинчин.

Первые задачи теории массового обслуживания (ТМО) были рассмотрены сотрудником Копенгагенской телефонной компании, ученым Агнером Эрлангом, в период между 1908 и 1922 годами. Стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств.

Имеется телефонный узел (обслуживающий прибор), на котором телефонистки время от времени соединяют отдельные номера телефонов друг с другом. Системы массового обслуживания (СМО) могут быть двух видов: с ожиданием и без ожидания (то есть, с потерями). В первом случае вызов (требование, заявка), пришедший на станцию в момент, когда занята нужная линия, остается ждать момента соединения. Во втором случае он «покидает систему» и не требует внимания СМО.

Системы массового обслуживания представляют собой эффективный математический инструмент для исследования широкого круга реальных социально-экономических и демографических процессов.

Поток

Однородный поток

Поток заявок однороден, если:

• все заявки равноправны,
• рассматриваются только моменты времени поступления заявок, то есть факты заявок без уточнения деталей каждой конкретной заявки.

Поток без последействия

Поток без последействия, если число событий любого интервала времени ( t {displaystyle t} , t + x {displaystyle t+x} ) не зависит от числа событий на любом другом не пересекающемся с нашим ( t {displaystyle t} , t + x {displaystyle t+x} ) интервале времени.

Стационарный поток

Поток заявок стационарен, если вероятность появления n событий на интервале времени ( t {displaystyle t} , t + x {displaystyle t+x} ) не зависит от времени t {displaystyle t} , а зависит только от длины x {displaystyle x} этого участка.

Простейший поток

Однородный стационарный поток без последействий является простейшим, потоком Пуассона.

Число n {displaystyle n} событий такого потока, выпадающих на интервал длины x {displaystyle x} , распределено по Закону Пуассона:

P ( n , x ) = ( λ x ) n e − λ x n ! . {displaystyle P(n,x)={frac {(lambda x)^{n}e^{-lambda x}}{n!}}.}

Пуассоновский поток заявок удобен при решении задач ТМО. Строго говоря, простейшие потоки редки на практике, однако многие моделируемые потоки допустимо рассматривать как простейшие.

Нормальный поток

Cтационарный поток без последействий, для которого интервалы между событиями распределены по нормальному закону, называется нормальным потоком: f ( t ) = 1 2 π σ t exp ⁡ − 1 2 ( t − m t σ t ) 2 {displaystyle f(t)={frac {1}{{sqrt {2pi }}sigma _{t}}}exp {-{frac {1}{2}}left({frac {t-m_{t}}{sigma _{t}}} ight)^{2}}} .

Поток Эрланга

Потоком Эрланга k {displaystyle k} -го порядка называется стационарный поток без последействий, у которого интервалы между событиями представляют собой сумму k + 1 {displaystyle k+1} независимых случайных величин, распределенных одинаково по экспоненциальному закону с параметром λ {displaystyle lambda } . При k = 0 {displaystyle k=0} поток Эрланга является простейшим потоком.

Плотность распределения случайной величины T-интервала между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k {displaystyle k} -го порядка равна: f k ( t ) = λ ( λ t ) k Γ ( α ) exp ⁡ − β t {displaystyle f_{k}(t)={frac {lambda (lambda t)^{k}}{Gamma (alpha )}}exp {-eta t}} , t > 0 , α ⩾ 1 {displaystyle t>0,alpha geqslant 1} .

Гамма-поток

Гамма-потоком называется стационарный поток без последействий, у которого интервалы между событиями представляют собой случайные величины, подчиненные гамма-распределению с параметрами α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } : f ( t ) = β α t α − 1 k ! exp ⁡ − λ t {displaystyle f(t)={frac {eta ^{alpha }t^{alpha -1}}{k!}}exp {-lambda t}} , t > 0 {displaystyle t>0} , где Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ x α − 1 exp ⁡ − x d x {displaystyle Gamma (alpha )=int _{0}^{infty }x^{alpha -1}exp {-x}dx} .

При α = k + 1 {displaystyle alpha =k+1} гамма-поток является потоком Эрланга k {displaystyle k} -го порядка.

Мгновенная плотность

Мгновенная плотность (интенсивность) потока равна пределу отношения среднего числа событий, приходящихся на элементарный интервал времени ( t {displaystyle t} , t + x {displaystyle t+x} ) к длине интервала ( x {displaystyle x} ), когда последний стремится к нулю.

λ ( t ) = lim x → 0 ( M ( t + x ) − M ( t ) x ) {displaystyle lambda (t)=lim _{x o 0}left({frac {M(t+x)-M(t)}{x}} ight)}

или, для простейшего потока,

λ = M ( x ) x , {displaystyle lambda ={frac {M(x)}{x}},}

где M ( x ) {displaystyle M(x)} равно математическому ожиданию числа событий на интервале x {displaystyle x} .

Формула Литтла

N ∗ = λ T . {displaystyle N^{*}=lambda T.}

Среднее число заявок в системе равно произведению интенсивности входного потока на среднее время пребывания заявки в системе.