Теорема Адамара — Картана

Теорема Адамара — Картана

30.09.2021


Теорема Адамара — Картана — утверждение о том, что универсальное накрытие риманова многообразия с неположительной кривизной диффеоморфно евклидову пространству.

История

Для поверхностей в евклидовом пространстве теорема была доказана фон Мангольдтом в 1881 году, и независимо Адамаром в 1898 году. Общий случай был доказан Картаном в 1928 году.

Обобщения на метрические пространства в разной общности были получены Буземаном и Риновом, Громовым а также Александер и Бишопом.

Формулировка

Теорема Картана — Адамара утверждает, что пространство универсального накрытия связного полного риманова многообразия неположительной секционной кривизны диффеоморфно евклидову пространству. Более того, экспоненциальное отображение в любой точке является диффеоморфизмом.

Вариации и обобщения

  • Теорема обобщается на гильбертовы многообразия в том смысле, что экспоненциальное отображение является универсальным накрытием. При этом полнота понимается в том смысле, что экспоненциальный отображение определено на всём касательном пространстве к точке.
  • Теорема Картана — Адамара для метрических пространств: метрическое пространство Х с неположительной кривизной в смысле Александрова является CAT(0)-пространством.
    • В частности, если X односвязно, то любые две точки в нём соединяются единственной геодезической, а значит, X является стягиваемым.

Предположение о неположительной кривизны может быть ослаблено. Назовём метрическое пространство X выпуклым, если для любых двух геодезических a(t) и b(t) функция

t ↦ d ( a ( t ) , b ( t ) ) {displaystyle tmapsto d(a(t),b(t))}

является выпуклой функцией от t. Метрическое пространство называется локально выпуклым, если каждая его точка имеет окрестность, которая является выпуклой в этом смысле. Теорема Картана — Адамара для локально выпуклых пространств формулируется следующим образом:

  • Если X является локально выпуклым полным связным метрическим пространством, то универсальное накрытие X является выпуклым геодезическим пространством по отношению к индуцированной внутренней метрике.
    • В частности, универсальное накрытие такого пространства стягиваемо.