Компактный оператор

Компактный оператор

23.09.2021


Компактный оператор — понятие функционального анализа. Компактные операторы естественно возникают при изучении интегральных уравнений, а их свойства схожи со свойствами операторов в конечномерных пространствах. Компактные операторы также часто называют вполне непрерывными.

Определение

Пусть X , Y {displaystyle X,Y} — банаховы пространства. Линейный оператор T : X → Y {displaystyle T:X o Y} называется компактным, если любое ограниченное подмножество в X {displaystyle X} он переводит в предкомпактное подмножество в Y {displaystyle Y} .

Существует эквивалентное определение, использующее понятие слабой топологии: линейный оператор T : X → Y {displaystyle T:X o Y} называется компактным, если его сужение на единичный шар в X {displaystyle X} является непрерывным отображением относительно слабой топологии в X {displaystyle X} и нормовой топологии в Y {displaystyle Y} . Очевидно, свойство компактности сильнее, чем ограниченность.

Множество компактных операторов T : X → Y {displaystyle T:X o Y} обозначается через K ( X , Y ) {displaystyle {mathcal {K}}(X,Y)} . Оно является подмножеством в пространстве ограниченных операторов L ( X , Y ) {displaystyle {mathcal {L}}(X,Y)} , действующих из X {displaystyle X} в Y {displaystyle Y} .

Простейшие свойства

  • Всякий вполне непрерывный оператор является ограниченным, однако не всякий ограниченный оператор является вполне непрерывным.
  • Линейная комбинация вполне непрерывных операторов A , B {displaystyle A,B} вида α A + β B {displaystyle alpha A+eta B} , где α , β {displaystyle alpha ,eta } — числа, также является вполне непрерывным оператором.
  • Пусть A {displaystyle A} — вполне непрерывный оператор, отображающий бесконечномерное банахово пространство в себя, и B {displaystyle B} — произвольный линейный ограниченный оператор, определённый на этом же пространстве. Тогда A B {displaystyle AB} и B A {displaystyle BA} являются вполне непрерывными операторами.
  • Если последовательность вполне непрерывных операторов { A n } {displaystyle left{A_{n} ight}} , отображающих пространство E x {displaystyle E_{x}} в полное пространство E y {displaystyle E_{y}} , равномерно сходится к оператору A {displaystyle A} (то есть ‖ A − A n ‖ → 0 {displaystyle left|A-A_{n} ight| o 0} ), то A {displaystyle A} также вполне непрерывный оператор.
  • Если оператор компактен, то сопряженный к нему тоже компактен.

Примеры

Наиболее содержательные примеры компактных операторов доставляет теория интегральных уравнений:

  • Возьмём произвольную функцию g ∈ L 2 ( [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ) {displaystyle gin L_{2}([0,1] imes [0,1])} . Тогда определённый следующим образом интегральный оператор T : L 2 ( 0 , 1 ) → L 2 ( 0 , 1 ) {displaystyle T:L_{2}(0,1) o L_{2}(0,1)} будет компактным:
( T f ) ( t ) = ∫ 0 1 g ( s , t ) f ( s ) d s {displaystyle (Tf)(t)=int limits _{0}^{1}g(s,t)f(s),ds}
  • Пусть функция g на [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1] imes [0,1]} имеет точки разрыва лишь на конечном числе кривых. Тогда оператор T : C ( 0 , 1 ) → C ( 0 , 1 ) {displaystyle T:C(0,1) o C(0,1)} , определённый точно так же, как и оператор в предыдущем примере, является компактным уже в пространстве непрерывных функций.

Диагональный оператор T λ : l 2 → l 2 {displaystyle T_{lambda }:l_{2} o l_{2}} , соответствующий последовательности λ = ( λ 1 , λ 2 , … ) {displaystyle lambda =(lambda _{1},lambda _{2},dots )} и действующий по правилу x = ( x 1 , x 2 , … ) → ( λ 1 x 1 , λ 2 x 2 , … ) {displaystyle x=(x_{1},x_{2},dots ) o (lambda _{1}x_{1},lambda _{2}x_{2},dots )} ограничен тогда и только тогда, когда последовательность λ {displaystyle lambda } ограничена, а компактность равносильна сходимости последовательности λ {displaystyle lambda } к нулю.

Обратимый оператор A : X → Y {displaystyle A:X o Y} компактен тогда и только тогда, когда X , Y {displaystyle X,Y} конечномерны.

Конечномерные операторы

Очевидно, что любой линейный ограниченный оператор с конечномерным образом является компактным (такие операторы называются конечномерными). Для компактного оператора T : X → Y {displaystyle T:X o Y} , где Y {displaystyle Y} — гильбертово пространство, всегда существует последовательность конечномерных операторов, сходящаяся к T {displaystyle T} по норме. Однако, это неверно для произвольного пространства Y {displaystyle Y} . Говорят, что банахово пространство Y {displaystyle Y} обладает свойством аппроксимации, если для любого банахова пространства X {displaystyle X} любой компактный оператор T : X → Y {displaystyle T:X o Y} может быть приближен конечномерными операторами. Существуют сепарабельные банаховы пространства не обладающие свойством аппроксимации.

Свойства пространства компактных операторов

Из базовых свойств компактных операторов сразу следует, что K ( X , Y ) {displaystyle {mathcal {K}}(X,Y)} является подпространством в L ( X , Y ) {displaystyle {mathcal {L}}(X,Y)} . Однако, можно показать, что это подпространство замкнуто. В случае, когда X = Y {displaystyle X=Y} , пространство операторов приобретает структуру алгебры (умножение задается композицией операторов). Тогда K ( X , X ) {displaystyle {mathcal {K}}(X,X)} является замкнутым двусторонним идеалом в L ( X ) {displaystyle {mathcal {L}}(X)} .

Свойство аппроксимации для пространства Y {displaystyle Y} можно сформулировать таким образом: для любого банахова пространства X {displaystyle X} пространство K ( X , Y ) {displaystyle {mathcal {K}}(X,Y)} является замыканием пространства конечномерных операторов из X {displaystyle X} в Y {displaystyle Y} .

Спектральные свойства компактных операторов

Пусть T : X → X {displaystyle T:X o X} — компактный оператор. Тогда оператор K = I − T {displaystyle K=I-T} является нетеровым оператором индекса 0 (фредгольмовым). В частности, имеем альтернативу Фредгольма для K {displaystyle K} : он сюръективен тогда и только тогда когда инъективен (альтернатива в том, что либо ядро не пусто, либо образ совпадает со всем пространством). Как следствие сразу получаем, что весь ненулевой спектр компактного оператора является дискретным (остаточный и непрерывный спектры могут содержать только ноль). Ноль же всегда принадлежит спектру оператора T {displaystyle T} в бесконечномерном случае (иначе обратимый оператор был бы компактен) и может не быть собственным значением для оператора T {displaystyle T} .

В случае, когда оператор T {displaystyle T} является самосопряженным (здесь X {displaystyle X} гильбертово), дополнительно имеем теорему Гильберта-Шмидта: существуют конечная или счетная ортонормированная система векторов e 1 , e 2 , … {displaystyle e_{1},e_{2},dots } и последовательность ненулевых вещественных чисел (той же мощности, что и система векторов) λ 1 , λ 2 , … {displaystyle lambda _{1},lambda _{2},dots } , такие, что оператор T {displaystyle T} действует по правилу T ( x ) = ∑ n λ n ( x , e n ) e n {displaystyle T(x)=sum limits _{n}lambda _{n}(x,e_{n})e_{n}} . Эта теорема является естественным обобщением аналогичной теоремы для самосопряженных операторов в конечномерном пространстве. Тем самым, класс компактных операторов, с точки зрения спектральных свойств, похож на операторы в конечномерном пространстве.

Классы компактных операторов

Пусть T : X → Y {displaystyle T:X o Y} — компактный оператор, X , Y {displaystyle X,Y} — гильбертовы пространства. Тогда существуют пара конечных или счетных ортонормированных последовательностей одинаковой мощности e 1 , e 2 , … {displaystyle e_{1},e_{2},dots } в X {displaystyle X} и f 1 , f 2 , … {displaystyle f_{1},f_{2},dots } в Y {displaystyle Y} и невозрастающая последовательность положительных вещественных чисел (той же мощности) s 1 , s 2 , … {displaystyle s_{1},s_{2},dots } , сходящаяся к нулю, если она бесконечна, такие что оператор T {displaystyle T} действует по правилу T ( x ) = ∑ n s n ( x , e n ) f n {displaystyle T(x)=sum limits _{n}s_{n}(x,e_{n})f_{n}} . Данный факт известен под названием теорема Шмидта (по формулировке она очень похожа на теорему Гильберта-Шмидта, и, в самом деле, теорема Шмидта, с небольшими изменениями для самосопряженного оператора служит доказательством для теоремы Гильберта-Шмидта). Нетрудно показать, что числа s 1 , s 2 , … {displaystyle s_{1},s_{2},dots } , которые называются числами Шмидта, однозначно определяются оператором.

Если для оператора T {displaystyle T} сходится ∑ n s n 2 {displaystyle sum limits _{n}s_{n}^{2}} , то оператор называется оператором Гильберта-Шмидта. Норма вводится соотношением ‖ T ‖ = ∑ n   s n 2 {displaystyle |T|={sqrt {sum limits _{n}^{ }s_{n}^{2}}}} , причем она порождается скалярным произведением. Если же сходится ∑ n s n {displaystyle sum limits _{n}s_{n}} , то оператор называется ядерным или оператором со следом. На пространстве ядерных операторов норма вводится соотношением ‖ T ‖ = ∑ n s n {displaystyle |T|=sum limits _{n}s_{n}} .