Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно-фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Условие устойчивости

Передаточная функция динамической системы   T ( s ) {displaystyle T(s)} может быть представлена в виде дроби

  T ( s ) = N ( s ) D ( s ) {displaystyle T(s)={frac {N(s)}{D(s)}}} .

Устойчивость   T ( s ) {displaystyle T(s)} достигается тогда, когда все её полюсы находятся в левой полуплоскости   s {displaystyle s} . В правой полуплоскости их быть не должно. Если   T ( s ) {displaystyle T(s)} получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией   F ( s ) = A ( s ) B ( s ) {displaystyle F(s)={frac {A(s)}{B(s)}}} , тогда полюсы передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции   1 + F ( s ) {displaystyle 1+F(s)} . Выражение   1 + F ( s ) = 0 {displaystyle 1+F(s)=0} называется характеристическим уравнением системы.

Принцип аргумента Коши

Из теории функций комплексного переменного известно, что контур Γ s   {displaystyle Gamma _{s} } , охватывающий на   s {displaystyle s} -плоскости некоторое число неаналитических точек, может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость   F ( s ) {displaystyle F(s)} ) при помощи функции   F ( s ) {displaystyle F(s)} таким образом, что получившийся контур Γ F ( s )   {displaystyle Gamma _{F(s)} } будет охватывать центр   F ( S ) {displaystyle F(S)} -плоскости   n {displaystyle n} раз, причём   n = z − p {displaystyle n=z-p} , где   z {displaystyle z} — число нулей, а   p {displaystyle p} — число полюсов функции   F ( s ) {displaystyle F(s)} . Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура Γ s   {displaystyle Gamma _{s} } , а отрицательным — противоположное ему. ...

Формулировка критерия

Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:

• участок, идущий вверх по оси   j ω   {displaystyle jomega } , от 0 − j ∞ {displaystyle 0-jinfty } до 0 + j ∞ {displaystyle 0+jinfty } .
• полуокружность радиусом r → ∞ {displaystyle r o infty } , начинающаяся в точке 0 + j ∞ {displaystyle 0+jinfty } и достигающая конца в точке 0 − j ∞ {displaystyle 0-jinfty } по часовой стрелке.

Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы   F ( s ) {displaystyle F(s)} , в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции   F ( s ) {displaystyle F(s)} минус количество полюсов   F ( s ) {displaystyle F(s)} в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку   − 1 + j 0 {displaystyle -1+j0} , получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции   1 + F ( s ) {displaystyle 1+F(s)} . Заметив, что функция   1 + F ( s ) {displaystyle 1+F(s)} имеет такие же полюса, что и функция   F ( s ) {displaystyle F(s)} , а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова:

Пусть Γ s   {displaystyle Gamma _{s} } — замкнутый контур в комплексной плоскости,   p {displaystyle p} — число полюсов   F ( s ) {displaystyle F(s)} , охваченных контуром Γ s   {displaystyle Gamma _{s} } , а   z {displaystyle z} — число нулей   F ( s ) {displaystyle F(s)} , охваченных Γ s   {displaystyle Gamma _{s} } — то есть число полюсов   T ( s ) {displaystyle T(s)} , охваченных Γ s   {displaystyle Gamma _{s} } . Получившийся контур в   F ( s ) {displaystyle F(s)} -плоскости, Γ F ( s )   {displaystyle Gamma _{F(s)} } должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку   − 1 + j 0 {displaystyle -1+j0}   n {displaystyle n} раз, где   n = z − p {displaystyle n=z-p} .

В русскоязычной литературе, в основном, изданной в СССР, встречается иная формулировка критерия, называемого в этом случае критерием Михайлова:

Система порядка   n {displaystyle n} устойчива, если ее частотный годограф, начинаясь на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости, последовательно проходит   n {displaystyle n} координатных квадрантов, нигде не обращаясь в 0.

Следствия критерия Найквиста-Михайлова:

• Если разомкнутая система с передаточной функцией   F ( s ) {displaystyle F(s)} устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (−1; j0).
• Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов   F ( s ) {displaystyle F(s)} вокруг точки −1 должно быть равно числу полюсов   F ( s ) {displaystyle F(s)} в правой полуплоскости.
• Количество дополнительных охватов (больше, чем   n + p {displaystyle n+p} ) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.