Вершина (геометрия)

Вершина (геометрия)

23.08.2021


Вершина — точка, в которой две кривые, две прямые либо два ребра сходятся. Из этого определения следует, что точка, в которой сходятся два луча, образуя угол, является вершиной, а также ею являются угловые точки многоугольников и многогранников.

Определение

Вершина угла

Вершина угла — это точка, откуда берут начало два луча; где сходятся два отрезка; где две прямые пересекаются; где любая комбинация лучей, отрезков и прямых, образующих две (прямолинейные) «стороны», которые сходятся в одной точке.

Вершина многоугольника многогранника

Вершина — это угловая точка многоугольника или многогранника (любой размерности), иначе говоря его 0-мерная граней.

В многоугольнике вершина называется «выпуклой», если внутренний угол многоугольника меньше π радиан (180° — два прямых угла). В противном случае вершина называется «вогнутой».

Более обще, вершина многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника с достаточно малой сферой, имеющей вершину в качестве центра, представляет собой выпуклую фигуру; в противном же случае вершина является вогнутой.

Вершины многогранника связаны с вершинами графа, поскольку многогранника является графом, вершины которого соответствуют вершинам многогранника, а следовательно, граф многогранника можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс, вершинами которого служат вершины графа. Однако, в теории графов вершины могут иметь менее двух инцидентных рёбер, что обычно не разрешается для вершин геометрических. Также имеется связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой, точками экстремумов её кривизны — вершины многоугольника в некотором смысле являются точками бесконечной кривизны, и, если многоугольник приблизить гладкой кривой, точки экстремальной кривизны будут лежать вблизи вершин многоугольника. Однако, приближение многоугольника с помощью гладкой кривой даёт дополнительные вершины в точках минимальной кривизны.

Вершины плоских мозаик

Вершина плоской мозаики (замощения) — это точка, где встречаются три и более плиток мозаики, но не только: плитки замощения также являются многоугольниками, а вершины мозаики являются вершинами этих плиток. Более обще, замощение можно рассматривать как вид топологического CW-комплекса. Вершины других видов комплексов, таких как симплициальные, — это грани нулевой размерности.

Основная вершина

Вершина x i {displaystyle x_{i}} простого многоугольника P {displaystyle P} является основной вершиной, если диагональ [ x i − 1 , x i + 1 ] {displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]} пересекает границы P {displaystyle P} только в точках x i − 1 {displaystyle x_{i-1}} и x i + 1 {displaystyle x_{i+1}} . Существует два типа основных вершин: «уши» и «рты» (см. ниже).

«Уши»

Основная вершина x i {displaystyle x_{i}} простого многоугольника P {displaystyle P} называется «ухом», если диагональ [ x i − 1 , x i + 1 ] {displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]} лежит полностью в P {displaystyle P} . (см. также выпуклый многоугольник)

«Рты»

Основная вершина x i {displaystyle x_{i}} простого многоугольника P {displaystyle P} называется «ртом», если диагональ [ x i − 1 , x i + 1 ] {displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]} лежит вне P {displaystyle P} .

Число вершин многогранника

Любая поверхность трёхмерного выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику:

V − E + F = 2 , {displaystyle V-E+F=2,}

где V {displaystyle V} — число вершин, E {displaystyle E} — число рёбер, а F {displaystyle F} — число граней. Это равенство известно как уравнение Эйлера. К примеру, куб имеет 12 рёбер и 6 граней, а потому — 8 вершин: 8 − 12 + 6 = 2 {displaystyle 8-12+6=2} .

Вершины в компьютерной графике

В компьютерной графике объекты часто представляются как триангулированные многогранники, в которых вершинам объекта сопоставляются не только три пространственные координаты, но и другая необходимая для правильного построения изображения объекта графическая информация, такая как цвет, отражательная способность, текстура, нормали вершин. Эти свойства используются при построении изображения с помощью вершинного шейдера, части обработчика вершин.