Мультиоператорная группа

Мультиоператорная группа

20.07.2021


Мультиоператорная группа — произвольная алгебра, снабжённая групповой структурой, обобщающая понятия группы, кольца, тела, операторной группы (которая, в свою очередь, обобщает модули над кольцами, в частности, векторные пространства).

Введена в 1956 году английским математиком Филипом Хиггинсом как наиболее универсальная структура, в которой всякая конгруэнция представляется разложением на смежные классы по идеалам, а также для которой может быть определено понятие коммутанта.

Другие примеры мультиоператорых групп — почтикольцо и почтиполе. Также изучены специальные универсальные классы мультиоператорных групп — мультиоператорные кольца и мультиоператорные алгебры.

Определения

Мультиоператорная группа или Σ {displaystyle Sigma } -группа — алгебра G = ⟨ G , + , − , 0 , Σ ⟩ {displaystyle {mathfrak {G}}=langle G,+,-,0,Sigma angle } , образующая группу ⟨ G , + , − , 0 ⟩ {displaystyle langle G,+,-,0 angle } , притом для всякой n {displaystyle n} -арной операции σ ∈ Σ {displaystyle sigma in Sigma } выполнено σ ( 0 , … , 0 ) = 0 {displaystyle sigma (0,dots ,0)=0} , то есть { 0 } {displaystyle {0}} образует подсистему в G {displaystyle {mathfrak {G}}} . Принимается, что часть сигнатуры Σ {displaystyle Sigma } не содержит нульарных операций. Иногда мультиоператорная группа называется по своей дополнительной сигнатуре — Σ {displaystyle Sigma } -группа.

Нормальная подгруппа N {displaystyle N} группы ⟨ G , + , − , 0 ⟩ {displaystyle langle G,+,-,0 angle } называется идеалом мультиоператорной группы G = ⟨ G , + , − , 0 , Σ ⟩ {displaystyle {mathfrak {G}}=langle G,+,-,0,Sigma angle } , если для любой n {displaystyle n} -арной операции σ ∈ Σ {displaystyle sigma in Sigma } , произвольных g i ∈ G {displaystyle g_{i}in G} ( 1 ⩽ i ⩽ n {displaystyle 1leqslant ileqslant n} ) и a ∈ N {displaystyle ain N} все элементы вида:

− σ ( g 1 , … , g n ) + σ ( g 1 , … , g i − 1 , a + g i , g i + 1 , … , g n ) {displaystyle -sigma (g_{1},dots ,g_{n})+sigma (g_{1},dots ,g_{i-1},a+g_{i},g_{i+1},dots ,g_{n})}

вновь принадлежат N {displaystyle N} . Может использоваться обозначение N ◃ G {displaystyle N riangleleft {mathfrak {G}}} по аналогии с обозначениями нормальной подгруппы и идеала кольца. Мультиоператорная группа называется простой, если у неё существует только два идеала — сама группа и нулевая подгруппа.

Коммутатор элементов g 1 , g 2 {displaystyle g_{1},g_{2}} мультиоператорной группы G = ⟨ G , + , − , 0 , Σ ⟩ {displaystyle {mathfrak {G}}=langle G,+,-,0,Sigma angle } определяется как элемент − g 1 − g 2 + g 1 + g 2 {displaystyle -g_{1}-g_{2}+g_{1}+g_{2}} , обозначается [ g 1 , g 2 ] {displaystyle [g_{1},g_{2}]} .

Коммутант мультиоператорной группы — идеал, порождённый всеми коммутаторами [ g , h ] {displaystyle [g,h]} и элементами вида:

− σ ( g 1 , … , g n ) − σ ( h 1 , … , h n ) + σ ( g 1 + h 1 , … , g n + h n ) {displaystyle -sigma (g_{1},dots ,g_{n})-sigma (h_{1},dots ,h_{n})+sigma (g_{1}+h_{1},dots ,g_{n}+h_{n})}

для всякой n {displaystyle n} -арной операции σ ∈ Σ {displaystyle sigma in Sigma } из дополнительной сигнатуры мультиоператорной группы.

Свойства идеала

Для групп идеал мультиоператорной группы совпадает с понятием нормальной подгруппы, а для колец и структур на их основе — с понятием двустороннего идеала.

Всякий идеал мультиоператорной группы является её подсистемой. Пересечение любой системы идеалов { N i ∣ i ∈ I } {displaystyle {N_{i}mid iin I}} мультиоператорной группы G = ⟨ G , + , − , 0 , Σ ⟩ {displaystyle {mathfrak {G}}=langle G,+,-,0,Sigma angle } вновь является её идеалом, притом этот идеал N = ⋂ N i {displaystyle N=igcap N_{i}} совпадает с подгруппой группы ⟨ G , + , − , 0 ⟩ {displaystyle langle G,+,-,0 angle } , порождённой этими идеалами.

Основное свойство идеала — всякая конгруэнция на мультиоператорной группе описывается разложениями на смежные классы по некоторому идеалу, иными словами, о факторсистеме мультиоператорной группы (мультиоператорной факторгруппе) можно говорить как о конструкции, производящей новую мультиоператорную группу по её идеалу.

Специальные классы мультиоператорных групп

Мультиоператрное кольцо — мультиоператорная группа G = ⟨ G , + , − , 0 , Σ ⟩ {displaystyle {mathfrak {G}}=langle G,+,-,0,Sigma angle } , аддитивная группа которой абелева и каждая n {displaystyle n} -арная операция σ ∈ Σ {displaystyle sigma in Sigma } дистрибутивна относительно группового сложения:

σ ( g 1 , … , g i + h i , … , g n ) = σ ( g 1 , … , g i , … , g n ) + σ ( g 1 , … , h i , … , g n ) {displaystyle sigma (g_{1},dots ,g_{i}+h_{i},dots ,g_{n})=sigma (g_{1},dots ,g_{i},dots ,g_{n})+sigma (g_{1},dots ,h_{i},dots ,g_{n})}

для любых g i , h i ∈ G {displaystyle g_{i},h_{i}in G} .

Мультиоператорная алгебра — мультиоператорное кольцо, все унарные операции дополнительной сигнатуры Σ {displaystyle Sigma } которой образуют поле Σ 1 {displaystyle Sigma _{1}} , притом структура является векторным пространством над этим полем и для всех λ ∈ Σ 1 {displaystyle lambda in Sigma _{1}} , всех n {displaystyle n} -арных операций арности больше единицы σ ∈ Σ ∖ Σ 1 {displaystyle sigma in Sigma setminus Sigma _{1}} и произвольных элементов g i ∈ G {displaystyle g_{i}in G} выполнено:

λ σ ( g 1 , … , g i , … , g n ) = σ ( λ g 1 , … , g i , … , g n ) = σ ( g 1 , … , λ g i , … , g n ) = σ ( g 1 , … , g i , … , λ g n {displaystyle lambda sigma (g_{1},dots ,g_{i},dots ,g_{n})=sigma (lambda g_{1},dots ,g_{i},dots ,g_{n})=sigma (g_{1},dots ,lambda g_{i},dots ,g_{n})=sigma (g_{1},dots ,g_{i},dots ,lambda g_{n}} .

Как и другие мультиоператорные структуры, в тексте часто идентифицируется дополнительной сигнатурой: мультиоператорная Σ {displaystyle Sigma } -алгебра (в данном случае и для избежания неоднозначности между алгеброй над кольцом, специальным обобщением которой является, и алгеброй в универсальном смысле).

Идеалами мультиоператорных колец и алгебр являются подгруппы N ◃ G {displaystyle N riangleleft G} , в которых наличие элемента g i ∈ N {displaystyle g_{i}in N} влечёт содержание в них также всех элементов вида σ ( g 1 , … , g i , … , g n ) ∈ N {displaystyle sigma (g_{1},dots ,g_{i},dots ,g_{n})in N} .