Теорема Сохоцкого — Племеля

Теорема Сохоцкого — Племеля

20.06.2021


Теорема Сохоцкого — Племеля (польская орфография Sochocki) — теорема в комплексном анализе, которая помогает в оценке определенных интегралов. Версия для вещественной прямой (см. ниже) часто используется в физике, хотя и редко называется по имени. Теорема названа в честь Юлиана Сохоцкого, который доказал её в 1868 году, и Иосифа Племеля, который заново открыл её в качестве основного ингредиента своего решения задачи Римана — Гильберта в 1908 году.

Формулировка теоремы

Пусть C гладкая замкнутая простая кривая на плоскости, и φ — аналитическая функция на C. Тогда интеграл типа Коши

1 2 π i ∫ C φ ( ζ ) d ζ ζ − z , {displaystyle {frac {1}{2pi i}}int _{C}{frac {varphi (zeta )dzeta }{zeta -z}},}

определяет две аналитические функции от z, φi внутри C и φe снаружи. Формулы Сохоцкого — Племеля соотносят граничные значения этих двух аналитических функций в точке z на C и главное значение по Коши P {displaystyle {mathcal {P}}} интеграла:

ϕ i ( z ) = 1 2 π i P ∫ C φ ( ζ ) d ζ ζ − z + 1 2 φ ( z ) , {displaystyle phi _{i}(z)={frac {1}{2pi i}}{mathcal {P}}int _{C}{frac {varphi (zeta )dzeta }{zeta -z}}+{frac {1}{2}}varphi (z),} ϕ e ( z ) = 1 2 π i P ∫ C φ ( ζ ) d ζ ζ − z − 1 2 φ ( z ) . {displaystyle phi _{e}(z)={frac {1}{2pi i}}{mathcal {P}}int _{C}{frac {varphi (zeta )dzeta }{zeta -z}}-{frac {1}{2}}varphi (z).}

Последующие обобщения устраняют требования гладкости на кривой C и функции φ.

Версия для вещественной прямой

Особенно важна версия этой теоремы для интегралов на вещественной прямой.

Пусть ƒ комплекснозначное значение функции, которая определена и непрерывна на вещественной оси, и пусть a и b — реальные константы такие, что a < 0 < b. Тогда

lim ε → 0 + ∫ a b f ( x ) x ± i ε d x = ∓ i π f ( 0 ) + P ∫ a b f ( x ) x d x , {displaystyle lim _{varepsilon ightarrow 0^{+}}int _{a}^{b}{frac {f(x)}{xpm ivarepsilon }},dx=mp ipi f(0)+{mathcal {P}}int _{a}^{b}{frac {f(x)}{x}},dx,}

где P {displaystyle {mathcal {P}}} обозначает главное значение Коши.

Доказательство для вещественной прямой

Простое доказательство состоит в следующем.

lim ε → 0 + ∫ a b f ( x ) x ± i ε d x = ∓ i π lim ε → 0 + ∫ a b ε π ( x 2 + ε 2 ) f ( x ) d x + lim ε → 0 + ∫ a b x 2 x 2 + ε 2 f ( x ) x d x . {displaystyle lim _{varepsilon ightarrow 0^{+}}int _{a}^{b}{frac {f(x)}{xpm ivarepsilon }},dx=mp ipi lim _{varepsilon ightarrow 0^{+}}int _{a}^{b}{frac {varepsilon }{pi (x^{2}+varepsilon ^{2})}}f(x),dx+lim _{varepsilon ightarrow 0^{+}}int _{a}^{b}{frac {x^{2}}{x^{2}+varepsilon ^{2}}},{frac {f(x)}{x}},dx.}

Для первого слагаемого, отметим, что ε π ( x 2 + ε 2 ) {displaystyle { frac {varepsilon }{pi (x^{2}+varepsilon ^{2})}}} — это зарождающаяся дельта-функция, и поэтому приближается к дельта-функции Дирака в пределе. Следовательно, первое слагаемое равно ∓ i π f ( 0 ) {displaystyle mp ipi f(0)} .

Для второго слагаемого, мы отмечаем, что фактор x 2 x 2 + ε 2 {displaystyle { frac {x^{2}}{x^{2}+varepsilon ^{2}}}} стремится к 1 для |х| ≫ ε, и стремится к 0 при |х| ≪ ε, а именно симметричная функция относительно 0. Поэтому, в пределе, получается интеграл в смысле главного значения по Коши.

Приложения к физике

В квантовой механике и квантовой теории поля, часто приходится оценивать интегралы в виде

∫ − ∞ ∞ d E ∫ 0 ∞ d t f ( E ) exp ⁡ ( − i E t ) {displaystyle int _{-infty }^{infty }dE,int _{0}^{infty }dt,f(E)exp(-iEt)}

где Е — это некоторая энергия и t — время. В данной форме выражение не определено (поскольку интеграл по времени не сходится), поэтому его обычно изменяют путём добавления отрицательного вещественного коэффициента к t в экспоненте, а затем устремляют этот коэффициент к нулю:

lim ε → 0 + ∫ − ∞ ∞ d E ∫ 0 ∞ d t f ( E ) exp ⁡ ( − i E t − ε t ) {displaystyle lim _{varepsilon ightarrow 0^{+}}int _{-infty }^{infty }dE,int _{0}^{infty }dt,f(E)exp(-iEt-varepsilon t)} = − i lim ε → 0 + ∫ − ∞ ∞ f ( E ) E − i ε d E = π f ( 0 ) − i P ∫ − ∞ ∞ f ( E ) E d E , {displaystyle =-ilim _{varepsilon ightarrow 0^{+}}int _{-infty }^{infty }{frac {f(E)}{E-ivarepsilon }},dE=pi f(0)-i{mathcal {P}}int _{-infty }^{infty }{frac {f(E)}{E}},dE,}

где теорема Сохоцкого используется на последнем шаге.