Псевдолокальность потока Риччи

Псевдолокальность потока Риччи

21.05.2021


Псевдолокальность — одно из свойств потока Риччи, которое качественно отличает его от линейных потоков, например, от уравнения теплопроводности. Свойство утверждает, что если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства, то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи для меньшей окрестности.

Псевдолокальность потока Риччи была доказана Перельманом.

Формулировка

Для положительного целого n {displaystyle n} существуют δ , ε > 0 {displaystyle delta ,varepsilon >0} такие, что выполняется следующее утверждение.

  • Пусть M {displaystyle M} компактное n {displaystyle n} -мерное многообразие и g t {displaystyle g_{t}} решение потока Риччи на M {displaystyle M} определённое во временном интервале [ 0 , ε 2 ] {displaystyle [0,varepsilon ^{2}]} . Предположим для некоторой точки x ∈ M {displaystyle xin M} изопериметрическая константа в шаре B ( x , 1 ) g 0 {displaystyle B(x,1)_{g_{0}}} не меньше чем ( 1 − δ ) ⋅ c n {displaystyle (1-delta )cdot c_{n}} , где c n {displaystyle c_{n}} изопериметрическая константа n {displaystyle n} -мерного евклидова пространства и скалярная кривизна g 0 {displaystyle g_{0}} не меньше − 1 {displaystyle -1} везде в B ( x , 1 ) g 0 {displaystyle B(x,1)_{g_{0}}} . Тогда | R m g t | ≤ 1 t + 1 ε 2 {displaystyle |mathrm {Rm} _{g_{t}}|leq { frac {1}{t}}+{ frac {1}{varepsilon ^{2}}}}
во всех точках шара B ( x , ε ) g t {displaystyle B(x,varepsilon )_{g_{t}}} при t ∈ [ 0 , ε 2 ] {displaystyle tin [0,varepsilon ^{2}]} .