Соотношение Бретшнайдера

Соотношение Бретшнайдера

07.04.2021


Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, аналог теоремы косинусов.

Формулировка

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами α , γ {displaystyle alpha ,gamma } и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

e 2 f 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 − 2 a b c d cos ⁡ ( α + γ ) {displaystyle e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcdcos(alpha +gamma )}

Замечания

  • Эквивалентные формулировки e 2 f 2 = ( a c + b d ) 2 − 4 a b c d cos 2 ⁡ α + γ 2 {displaystyle e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcdcos ^{2}{frac {alpha +gamma }{2}}} , e 2 f 2 = ( a c − b d ) 2 + 4 a b c d sin 2 ⁡ α + γ 2 {displaystyle e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcdsin ^{2}{frac {alpha +gamma }{2}}}

Доказательство

Доказательство

Вне четырёхугольника построим внешним образом △ A B F {displaystyle riangle ABF} подобный △ C A D {displaystyle riangle CAD} и △ A D E {displaystyle riangle ADE} подобный △ C A B {displaystyle riangle CAB} , чтобы

∠ C A D = ∠ F B A {displaystyle angle CAD=angle FBA} , ∠ A C D = ∠ F A B {displaystyle angle ACD=angle FAB} , ∠ B A C = ∠ A D E {displaystyle angle BAC=angle ADE} , ∠ B C A = ∠ D A E {displaystyle angle BCA=angle DAE} .

Из свойства подобных треугольников имеем: A F a = c e {displaystyle {frac {AF}{a}}={frac {c}{e}}} ; B F a = d e {displaystyle {frac {BF}{a}}={frac {d}{e}}} ; A E d = b e {displaystyle {frac {AE}{d}}={frac {b}{e}}} ; D E d = a e {displaystyle {frac {DE}{d}}={frac {a}{e}}} . Отсюда A F = a c e {displaystyle AF={frac {ac}{e}}} ; A E = b d e {displaystyle AE={frac {bd}{e}}} ; B F = D E = a d e {displaystyle BF=DE={frac {ad}{e}}} . Сумма углов ∠ B {displaystyle angle B} и ∠ D {displaystyle angle D} в четырёхугольнике F B D E {displaystyle FBDE} равна сумме углов △ B A D {displaystyle riangle BAD} , то есть равна 180 ∘ {displaystyle 180^{circ }} . Отсюда F B ∥ D E {displaystyle FBparallel DE} . Также F B = D E {displaystyle FB=DE} , то есть F B D E {displaystyle FBDE} — параллелограмм. Отсюда f = B D = F E {displaystyle f=BD=FE} . В △ A E F {displaystyle riangle AEF} угол ∠ E A F = ∠ A + ∠ C {displaystyle angle EAF=angle A+angle C} по построению. По теореме косинусов: f 2 = ( a c e ) 2 + ( b d e ) 2 − 2 a b c d e 2 cos ⁡ ( ∠ A + ∠ C ) {displaystyle f^{2}=left({frac {ac}{e}} ight)^{2}+left({frac {bd}{e}} ight)^{2}-{frac {2abcd}{e^{2}}}cos(angle A+angle C)} . Умножением на e 2 {displaystyle e^{2}} получаем требуемое: ( e f ) 2 = ( a c ) 2 + ( b d ) 2 − 2 a b c d cos ⁡ ( ∠ A + ∠ C ) {displaystyle (ef)^{2}=(ac)^{2}+(bd)^{2}-2abcdcos(angle A+angle C)} , ч. т. д.

Следствия

  • Если четырёхугольник вырождается в треугольник (одна вершина попадает на сторону), то получается теорема Стюарта.
  • Если четырёхугольник вырождается в треугольник и одна вершина попадает на середину стороны, то с учётом равенства основного угла и дополнительного также получается Теорема Аполлония.
  • Если четырёхугольник вписан в окружность, то α + γ 2 = π 2 {displaystyle {frac {alpha +gamma }{2}}={frac {pi }{2}}} . Тогда из предпоследней формулы выше следует первая теорема Птолемея: e f = a c + b d {displaystyle ef=ac+bd} .
  • Если D — центр описанной окружности треугольника ABC, то DA = DB = DC. Используя теорему об углах вписанных в окружность, получим теорему косинусов для треугольника ABC.