Ковёр Серпинского

Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1916 г.

Построение

Итеративный метод

Квадрат Q 0 {displaystyle Q_{0}} делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата Q 0 {displaystyle Q_{0}} удаляется внутренность центрального квадрата. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество Q 1 {displaystyle Q_{1}} , состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

Q 0 ⊃ Q 1 ⊃ ⋯ ⊃ Q n ⊃ … , {displaystyle Q_{0}supset Q_{1}supset dots supset Q_{n}supset dots ,}

пересечение членов которой есть ковер Серпинского.

Метод хаоса

1. Задаются координаты 8 точек-аттракторов. Ими являются вершины и середины сторон исходного квадрата Q 0 {displaystyle Q_{0}} . 2. Вероятностное пространство ( 0 ; 1 ) {displaystyle (0;1)} разбивается на 8 равных частей, каждая из которых соответствует одному аттрактору. 3. Задаётся некоторая начальная точка P 0 {displaystyle P_{0}} , лежащая внутри квадрата Q 0 {displaystyle Q_{0}} . 4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству ковра Серпинского. 1. Генерируется случайное число n ∈ ( 0 ; 1 ) {displaystyle nin (0;1)} . 2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число. 3. Строится точка P i {displaystyle P_{i}} с новыми координатами: x i = x i − 1 + 2 x A 3 ; y i = y i − 1 + 2 y A 3 {displaystyle x_{i}={frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3}};y_{i}={frac {y_{i-1}+2y_{A}}{3}}} , где: x i − 1 , y i − 1 {displaystyle x_{i-1},y_{i-1}} — координаты предыдущей точки P i {displaystyle P_{i}} ; x A , y A {displaystyle x_{A},y_{A}} — координаты активной точки-аттрактора. 5. Возврат к началу цикла.

Свойства

• Ковёр Серпинского представляет собой частный случай многоугольного множества Серпинского. Он состоит из 8 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3.
• Ковер Серпинского замкнут.
• Ковер Серпинского имеет топологическую размерность 1.
• Ковер Серпинского имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность ln ⁡ 8 / ln ⁡ 3 ≈ 1 , 89 {displaystyle ln 8/ln 3approx 1{,}89} . В частности,
  • имеет нулевую меру Лебега.
• Если гиперболическая группа имеет одномерную границу и при этом не является полупрямым произведением, то её граница гомеоморфна ковру Серпинского.