Теория Бранса — Дикке
» » Теория Бранса — Дикке

Теория Бранса — Дикке

18.12.2020


Теория Бранса — Дикке (реже теория Йордана — Бранса — Дикке) — скалярно-тензорная теория гравитации, совпадающая в одном из пределов с общей теорией относительности. В теории Йордана — Бранса — Дикке как скалярно-тензорной метрической теории гравитационное воздействие на материю реализуется через метрический тензор пространства-времени, а материя влияет на метрику не только непосредственно, но и через генерируемое дополнительно скалярное поле ϕ {displaystyle phi } . Из-за этого в теории Йордана — Бранса — Дикке гравитационная постоянная G не обязательно постоянна, но зависит от скалярного поля 1 / G ∼ ϕ {displaystyle 1/Gsim phi } , которое может изменяться в пространстве и времени.

Эта теория получила окончательную формулировку в 1961 году в статье Карла Бранса и Роберта Дикке, которая опиралась существенным образом на работу Паскуаля Йордана 1959 года. В «золотой век» общей теории относительности эта теория рассматривалась как достойный соперник общей теории относительности из числа альтернативных теорий гравитации.

Как теория, сводящаяся к ОТО при специальном наборе параметров, теория Йордана — Бранса — Дикке не может быть опровергнута экспериментами, не противоречащими общей теории относительности. Однако подтверждающие предсказания теории относительности эксперименты значительно ограничивают допустимый произвол параметров теории Йордана — Бранса — Дикке. В настоящее время теорию Йордана — Бранса — Дикке поддерживает меньшинство физиков.

Сравнение с Общей Теорией Относительности

Как ОТО, так и теория Бранса — Дикке представляют собой примеры классических теорий гравитационного поля, называемых метрическими теориями. В этих теориях пространство-время описывается метрическим тензором g a b {displaystyle g_{ab}} , а гравитационное поле представляется, полностью или частично, тензором кривизны Римана R a b c d {displaystyle R_{abcd}} , который определяется метрическим тензором.

Все метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна, который на современном геометрическом языке гласит, что в маленькой области пространства, слишком маленькой, чтобы в ней проявлялись эффекты, связанные с кривизной пространства, все законы физики, существующие в специальной теории относительности, верны в локальной лоренцевой системе отсчёта. Отсюда следует, что, во всех метрических теориях проявляется эффект гравитационного красного смещения.

Как и в ОТО, источником гравитационного поля является тензор энергии-импульса. Однако способ, которым наличие этого тензора в какой-либо области пространства влияет на гравитационное поле в этой области, оказывается другим. В теории Бранса — Дикке в дополнение к метрике, которая является тензором второго ранга, существует так же скалярное поле ϕ {displaystyle phi } , которое физически проявляется как изменение в пространстве эффективной гравитационной постоянной.

Уравнения поля теории Бранса — Дикке содержат параметр ω {displaystyle omega } , называемый константой связи Бранса — Дикке. Это настоящая безразмерная константа, которая выбирается один раз и не изменяется. Разумеется, её следует выбирать так, чтобы она соответствовала наблюдениям. Кроме того, существующее фоновое значение эффективной гравитационной постоянной должно быть использовано в качестве граничного условия. При возрастании константы связи теория Бранса — Дикке даёт предсказания, всё более близкие к ОТО, а в пределе ω → inf {displaystyle omega ightarrow inf } переходит в неё.

В ОТО безразмерные константы отсутствуют, и, следовательно, она легче поддаётся фальсификации, чем теория Бранса — Дикке. Теории, допускающие подгонку параметров, в принципе считаются менее удовлетворительными, и при выборе из двух альтернативных теорий следует выбирать ту, которая содержит меньшее количество параметров (принцип бритвы Оккама). Однако в некоторых теориях такие параметры являются необходимыми.

Теория Бранса — Дикке является менее строгой, чем ОТО и в ещё одном смысле — она допускает большее количество решений. В частности, точное вакуумное решение уравнений Эйнштейна ОТО, дополненное тривиальным скалярным полем ϕ = 1 {displaystyle phi =1} , становится точным вакуумным решением в теории Бранса — Дикке, однако некоторые решения, которые не являются вакуумными решениями ОТО, при соответствующем выборе скалярного поля становятся вакуумными решениями теории Бранса — Дикке. Аналогично, важный класс метрик пространства-времени, называемых pp-волнами, являются нулевыми пылевыми решениями как в ОТО, так и в теории Бранса — Дикке, однако в теории Бранса — Дикке существуют дополнительные волновые решения, имеющие геометрии, невозможные в ОТО.

Как и ОТО, теория Бранса — Дикке предсказывает гравитационное линзирование и прецессию перигелия планет, вращающихся вокруг Солнца. Однако точные формулы, описывающие эти эффекты в ней, зависят от значения константы связи ω {displaystyle omega } . Это означает, что из наблюдений может быть получено значение нижней границы на возможные значения ω {displaystyle omega } . В 2003 году в ходе эксперимента Кассини-Гюйгенс было показано, что ω {displaystyle omega } должно превышать 40000.

Часто можно услышать, что теория Бранса — Дикке, в отличие от ОТО, удовлетворяет принципу Маха. Однако некоторые авторы утверждают, что это не так (особенно учитывая отсутствие консенсуса о том, что, собственно, представляет собой принцип Маха). Обычно утверждается, что ОТО может быть получена из теории Бранса — Дикке при ω → ∞ {displaystyle omega ightarrow infty } . Однако Фараони (см. ссылки) утверждает, что такая точка зрения является упрощением. Утверждается так же, что только ОТО удовлетворяет сильному принципу эквивалентности.

Уравнения поля

Уравнения поля в теории Бранса — Дикке имеют следующий вид:

◻ ϕ = 8 π 3 + 2 ω T {displaystyle Box phi ={frac {8pi }{3+2omega }}T} , G a b = 8 π ϕ T a b + ω ϕ 2 ( ∂ a ϕ ∂ b ϕ − 1 2 g a b ∂ c ϕ ∂ c ϕ ) + 1 ϕ ( ∇ a ∇ b ϕ − g a b ◻ ϕ ) , {displaystyle G_{ab}={frac {8pi }{phi }}T_{ab}+{frac {omega }{phi ^{2}}}(partial _{a}phi partial _{b}phi -{frac {1}{2}}g_{ab}partial _{c}phi partial ^{c}phi )+{frac {1}{phi }}( abla _{a} abla _{b}phi -g_{ab}Box phi ),}

где

  • ω {displaystyle omega } — безразмерная константа связи Бранса — Дикке,
  • g a b {displaystyle g_{ab}} — метрический тензор,
  • G a b = R a b − 1 2 R g a b {displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{frac {1}{2}}Rg_{ab}} — тензор Эйнштейна,
  • R a b = R m a m b {displaystyle R_{ab}={R^{,m}}_{amb}} — тензор Риччи, след тензора кривизны,
  • R = R m m {displaystyle R={R^{,m}}_{m}} — скаляр Риччи, след тензора Риччи,
  • T a b {displaystyle T_{ab}} — тензор энергии-импульса,
  • T {displaystyle T} — след T a b {displaystyle T_{ab}} ,
  • ϕ {displaystyle phi } — скалярное поле,
  • ◻ {displaystyle Box } — оператор Лапласа — Бельтрами или ковариантный волновой оператор, ◻ ϕ = ϕ ; a ; a {displaystyle Box phi =phi _{;;;a}^{;a}}

Первое уравнение утверждает, что след тензора энергии-импульса является источником скалярного поля ϕ {displaystyle phi } . Так как электромагнитное поле вносит вклад только в бесследовые члены тензора энергии-импульса, то в областях пространства, содержащих только электромагнитное поле (плюс гравитационное поле), правая часть выражения обращается в ноль и ϕ {displaystyle phi } свободно проходит сквозь электровакуумный регион и ϕ {displaystyle phi } удовлетворяет волновому уравнению (для искривлённого пространства). Это означает, что любые изменения в ϕ {displaystyle phi } свободно распространяется через электровакуумную область; в этом смысле мы можем утверждать, что ϕ {displaystyle phi } является дальнодействующем полем

Второе уравнение описывает, каким образом тензор энергии-импульса и скалярное поле ϕ {displaystyle phi } совместно влияют на пространство-время. Слева тензор Эйнштейна может рассматриваться как средняя кривизна. Из математики следует, что в любой метрической теории тензор Римана может быть записан как сумма тензора Вейля (также называемого конформным тензором кривизны) плюс слагаемого, собираемого из тензора Эйнштейна.

Для сравнения, уравнения поля в общей теории относительности

G a b = 8 π T a b . {displaystyle G_{ab}=8pi T_{ab}.}

Оно означает, что в ОТО кривизна Эйнштейна полностью определяется тензором энергии-импульса, а другое слагаемое, кривизна Вейля, соответствует части гравитационного поля, распространяющейся сквозь вакуум. А в теории Бранса — Дикке тензор Эйнштейна определяется частично непосредственно присутствующими энергией и импульсом, а частично дальнодействующим скалярным полем ϕ {displaystyle phi } .

Уравнения поля в вакууме обоих теорий получаются при занулении тензора энергии-импульса. Они описывают ситуацию, когда все поля, кроме гравитационного, отсутствуют.

Действие

Лагранжиан, содержащий полное описание теории Бранса — Дикке, выглядит следующим образом:

S = 1 16 π ∫ d 4 x − g ( ϕ R − ω ∂ a ϕ ∂ a ϕ ϕ + L M ) , {displaystyle S={frac {1}{16pi }}int d^{4}x{sqrt {-g}};left(phi R-omega {frac {partial _{a}phi partial ^{a}phi }{phi }}+{mathcal {L}}_{mathrm {M} } ight),}

где

  • g {displaystyle g} — детерминант метрики,
  • − g d 4 x {displaystyle {sqrt {-g}},d^{4}x} — четырёхмерная форма объёма,
  • L M {displaystyle {mathcal {L}}_{mathrm {M} }} — лагранжиан вещества.

Последнее слагаемое включает в себя вклад обычной материи и электромагнитного поля. В вакууме он обращается в ноль, и то, что остаётся, называется гравитационным слагаемым. Для того, чтобы получить вакуумные уравнения, мы должны посчитать его вариации относительно метрики g a b {displaystyle g_{ab}} ; это даст нам второе из уравнений поля. При расчёте же вариаций относительно скалярного поля ϕ {displaystyle phi } мы получим первое из уравнений. Заметим что, в отличие от уравнений ОТО, слагаемое δ R a b / δ g c d {displaystyle delta R_{ab}/delta g_{cd}} не обнуляется, так как результат не является полным дифференциалом. Можно показать, что:

δ ( ϕ R ) δ g a b = ϕ R a b + g a b g c d ϕ ; c d − ϕ ; a b . {displaystyle {frac {delta (phi R)}{delta g^{ab}}}=phi R_{ab}+g_{ab}g^{cd}phi _{;cd}-phi _{;ab}.}

Для того, чтобы доказать это воспользуемся тем, что

δ ( ϕ R ) = R δ ϕ + ϕ R m n δ g m n + ϕ ∇ s ( g m n δ Γ n m s − g m s δ Γ r m r ) . {displaystyle delta (phi R)=Rdelta phi +phi R_{mn}delta g^{mn}+phi abla _{s}(g^{mn}delta Gamma _{nm}^{s}-g^{ms}delta Gamma _{rm}^{r}).}

При вычислении δ Γ {displaystyle delta Gamma } в Римановых нормальных координатах 6 индивидуальных слагаемых оказываются равными нулю. Ещё 6 могут быть скомбинированы, используя теорему Стокса, что даёт ( g a b g c d ϕ ; c d − ϕ ; a b ) δ g a b {displaystyle (g_{ab}g^{cd}phi _{;cd}-phi _{;ab})delta g^{ab}} .

Для сравнения, в общей теории относительности лагранжиан имеет вид:

S = ∫ d 4 x − g ( R 16 π G + L M ) . {displaystyle S=int d^{4}x{sqrt {-g}};({frac {R}{16pi G}}+{mathcal {L}}_{mathrm {M} }).}

Считая вариации гравитационного члена относительно g a b {displaystyle g_{ab}} , получаем полевые уравнения Эйнштейна в вакууме.

В обоих теориях полные полевые уравнения могут быть получены путём вариаций полного лагранжиана, так что они обладают действием.