Среднее геометрическое
Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:
G ( x 1 , x 2 , … , x n ) = x 1 x 2 ⋯ x n n = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 / n {displaystyle G(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})={sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}cdots x_{n}}}=left(prod _{i=1}^{n}x_{i} ight)^{1/n}}Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным, поскольку среднее геометрическое g {displaystyle g} двух чисел a 1 {displaystyle a_{1}} и a 2 {displaystyle a_{2}} обладает следующим свойством: a 1 g = g a 2 {displaystyle {frac {a_{1}}{g}}={frac {g}{a_{2}}}} , то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же, как второе число к среднему геометрическому.
Свойства
- Так же, как и любое другое среднее значение, среднее геометрическое лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:
- Среднее геометрическое двух чисел a = A 0 , b = G 0 {displaystyle a=A_{0},b=G_{0}} является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:
- Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического.
Среднее геометрическое взвешенное
Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел x 1 , … , x n {displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}} с вещественными весами w 1 , … , w n {displaystyle w_{1},ldots ,w_{n}} определяется как
x ¯ = ( ∏ i = 1 n x i w i ) 1 / ∑ i = 1 n w i = exp ( 1 ∑ i = 1 n w i ∑ i = 1 n w i ln x i ) . {displaystyle {ar {x}}=left(prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}} ight)^{1/sum _{i=1}^{n}w_{i}}=quad exp left({frac {1}{sum _{i=1}^{n}w_{i}}};sum _{i=1}^{n}w_{i}ln x_{i} ight).}В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.
В геометрии
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, и тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.
Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.
Обобщения
- Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных A g ( x 1 , … , x n ) = x 1 g + … + x n g n g {displaystyle A_{g}(x_{1},ldots ,x_{n})={sqrt[{g}]{frac {x_{1}^{g}+ldots +x_{n}^{g}}{n}}}} при g → 0 {displaystyle g o 0} .
- Среднее геометрическое является средним Колмогорова при ϕ ( x ) = log x {displaystyle phi (x)=log x} .