Связная сумма
» » Связная сумма

Связная сумма

17.12.2020


Связная сумма — конструкция в топологии, позволяющая построить связное n {displaystyle n} -мерное многообразие по двум данным связным n {displaystyle n} -мерным многообразиям.

Связная сумма многообразий M {displaystyle M} и N {displaystyle N} обычно обозначается M # N {displaystyle M#N} .

Построение

Для построения связной суммы M # N {displaystyle M#N} необходимо вырезать из M {displaystyle M} и N {displaystyle N} по открытому шару и склеить полученные сферические края по гомеоморфизму. Если оба многообразия ориентируемы, то при склеивании учитывается ориентация.

Для определения связанной суммы в гладкой категории, склеивают воротнички у края по диффеоморфизму.

Эта операции однозначно определена с точностью до гомеоморфизма и соответственно диффеоморфизма.

Примеры

  • S n # M n {displaystyle S^{n}#M^{n}} гомеоморфно M n {displaystyle M^{n}} .

Свойства

  • Операция связной суммы коммутативна с точностью до диффеоморфизма; то есть, M # N {displaystyle M#N} диффеоморфно N # M {displaystyle N#M} .
  • Относительно операции связной суммы, гладкие структуры на сфере образуют группу.

Вариации и обобщения

  • Связная сумма узлов