Символическая динамика

Символическая динамика

17.12.2020


Символическая динамика — объединяющее название класса динамических систем, для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево.

Простейшими примерами являются сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова. Символическая динамика также возникает при рассмотрении отображения судьбы.

Базовые примеры

Сдвиг Бернулли

Пусть Σ s + {displaystyle Sigma _{s}^{+}} — пространство последовательностей в алфавите { 1 , … , s } {displaystyle {1,dots ,s}} , то есть,

Σ s + = { ( ω j ) j = 1 ∞ ∣ ∀ j w j ∈ { 1 , … , s } } . {displaystyle Sigma _{s}^{+}={(omega _{j})_{j=1}^{infty }mid forall jquad w_{j}in {1,dots ,s}}.}

Сдвигом Бернулли называется динамическая система ( Σ s + , σ ) {displaystyle (Sigma _{s}^{+},sigma )} , где σ {displaystyle sigma } — отображение левого сдвига,

( σ ( ω ) ) j = ω j + 1 . ( ∗ ) {displaystyle (sigma (omega ))_{j}=omega _{j+1}.qquad (*)}

Также рассматривают отображение левого сдвига на пространстве двусторонне-бесконечных последовательностей

Σ s = { ( ω j ) j = − ∞ ∞ ∣ ∀ j w j ∈ { 1 , … , s } } ; {displaystyle Sigma _{s}={(omega _{j})_{j=-infty }^{infty }mid forall jquad w_{j}in {1,dots ,s}};}

получающуюся динамическую систему ( Σ s , σ ) {displaystyle (Sigma _{s},sigma )} также называют сдвигом Бернулли. При необходимости, для уточнения, какая из систем имеется в виду, называют первую систему односторонним сдвигом Бернулли, а вторую двусторонним.

Сдвиг Маркова

Отображение судьбы

В случае, если фазовое пространство динамической системы разбито в объединение непересекающихся множеств,

X = ⨆ i = 1 N B i , {displaystyle X=igsqcup _{i=1}^{N}B_{i},}

любой точке x ∈ X {displaystyle xin X} может быть поставлена в соответствие её судьба — последовательность номеров множеств, которые посещает её орбита:

x ↦ ( i k ) , f k ( x ) ∈ B i k . ( ∗ ) {displaystyle xmapsto (i_{k}),quad f^{k}(x)in B_{i_{k}}.qquad (*)}

При этом для необратимых динамических систем последовательность ( i k ) {displaystyle (i_{k})} односторонняя, т.е. k = 0 , 1 , 2 , … {displaystyle k=0,1,2,dots } , а для обратимых систем обычно рассматривают двусторонне-бесконечные последовательности, k ∈ Z {displaystyle kin mathbb {Z} } .

Отображение h : X → Σ N {displaystyle h:X o Sigma _{N}} или h : X → Σ N + {displaystyle h:X o Sigma _{N}^{+}} , заданное формулой (*), называется отображением судьбы (соответствующим данному разбиению фазового пространства). Такое отображение автоматически удовлетворяет соотношению

h ∘ f = σ ∘ h . {displaystyle hcirc f=sigma circ h.}

Хотя отображение судьбы априори не является ни сюръективным, ни инъективным, ни непрерывным, оно часто применяется при построении сопряжений либо полусопряжений различных отображений. В случае, когда отображение судьбы инъективно, говорят о символическом кодировании динамики — поскольку применение отображения такая «замена координат» превращает в динамику на символическом пространстве Σ N {displaystyle Sigma _{N}} или на его части.

Свойства

Примеры

Инвариантные меры