Квадрат
» » Квадрат

Квадрат

17.12.2020


Квадрат — правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Квадрат является одновременно частным случаем ромба и прямоугольника. Также является двумерным гиперкубом.

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов.
  • Свойства

    • Пусть t {displaystyle t} — сторона квадрата, R {displaystyle R} — радиус описанной окружности, r {displaystyle r} — радиус вписанной окружности. Тогда центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей, и
      • радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата: r = t 2 {displaystyle r={frac {t}{2}}} ,
      • радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата: R = 2 2 t {displaystyle R={frac {sqrt {2}}{2}}t} ,
    • Квадрат обладает наибольшей симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:
      • одну ось симметрии четвёртого порядка (ось, перпендикулярная плоскости квадрата и проходящая через его центр);
      • четыре оси симметрии второго порядка (что для плоской фигуры эквивалентно отражениям), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.
    • Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
    Площадь квадрата и длина его сторон

    Периметр квадрата

      • периметр квадрата равен: P = 4 t = 4 2 R = 8 r {displaystyle P=4t=4{sqrt {2}}R=8r} ,

    Площадь квадрата

    Здесь приведены формулы, свойственные именно квадрату. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
      • площадь S {displaystyle S} квадрата равна S = t 2 = 2 R 2 = 4 r 2 {displaystyle S=t^{2}=2R^{2}=4r^{2}} .

    Уравнение квадрата

    Уравнение квадрата с центром в точке { x 0 , y 0 } {displaystyle {x_{0},y_{0}}} и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде:

    | x − x 0 | + | y − y 0 | = a , {displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=a,}

    где a {displaystyle a} — половина длины диагонали квадрата.

    Сторона квадрата тогда равна a 2 , {displaystyle a{sqrt {2}},} его диагональ равна 2 a , {displaystyle 2a,} а площадь квадрата равна 2 a 2 . {displaystyle 2a^{2}.}

    Неевклидова геометрия

    В неевклидовой геометрии квадрат (более широко) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами.

    Многообразие квадратов

    Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

    Графы: K4 полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

    Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

    Квадратный флаг Лима поделен на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.