N-эллипс
» » N-эллипс

N-эллипс

16.12.2020


N-эллипс — обобщение эллипса, имеющее более двух фокусов. N-эллипсы называют также мультифокальными эллипсами, полиэллипсами, k-эллипсами, эллипсами Чирнхауса. Впервые такие фигуры исследовал Джеймс Максвелл в 1846 году.

Пусть на плоскости задано n точек (ui, vi) (фокусы), тогда n-эллипс является геометрическим местом точек плоскости, для которых сумма расстояний до n фокусов является постоянной величиной d. В виде формулы данное утверждение записывается как

{ ( x , y ) ∈ R 2 : ∑ i = 1 n ( x − u i ) 2 + ( y − v i ) 2 = d } . {displaystyle left{(x,y)in mathbf {R} ^{2}:sum _{i=1}^{n}{sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d ight}.}

1-эллипс представляет собой окружность, 2-эллипс — обычный эллипс. Обе данные кривые являются алгебраическими кривыми степени 2.

Для любого числа n фокусов n-эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую. Кривая является гладкой вне окрестностей фокуса.

n-эллипс является подмножеством точек, удовлетворяющих определённому алгебраическому уравнению. Если n нечётно, алгебраическая степень кривой равна 2 n {displaystyle 2^{n}} , если n чётно, степень равна 2 n − ( n n / 2 ) {displaystyle 2^{n}-{inom {n}{n/2}}} .