Степень отображения

Степень отображения — гомотопический инвариант непрерывного отображения между компактными многообразиями равной размерности.

В простейшем случае, для отображения из окружности в окружность φ : S 1 → S 1 {displaystyle varphi colon mathbb {S} ^{1} o mathbb {S} ^{1}} степень отображения можно определить как число оборотов точки φ ( x ) {displaystyle varphi (x)} когда x {displaystyle x} пробегает окружность.

Определения

Гомологическое

Пусть X и Y замкнутые связные ориентируемые многообразия равной размерности. Тогда степень непрерывного отображения f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} определяется как целое число deg ⁡ ( f ) {displaystyle deg(f)} такое, что

f ∗ ( [ X ] ) = deg ⁡ ( f ) [ Y ] . {displaystyle f_{*}([X])=deg(f)[Y].}

где f ∗ {displaystyle f_{*}} обозначает индуцированный гомоморфизм между кольцами гомологий и [ X ] {displaystyle [X]} обозначает фундаментальный класс многообразия X {displaystyle X} .

Через подсчёт ориентаций

Рассмотрим гладкое отображение n {displaystyle n} -мерных компактных связных ориентированных гладких многообразий φ : M 1 n → M 2 n {displaystyle varphi :M_{1}^{n} o M_{2}^{n}} .

Точка из M 2 n {displaystyle M_{2}^{n}} называется регулярной, если у неё конечное число прообразов и в каждом из её прообразов отображение φ {displaystyle varphi } не вырождено (то есть невырожден дифференциал отображения в каждом из прообразов). Согласно лемме Сарда, почти все точки M 2 n {displaystyle M_{2}^{n}} являются регулярными значениями φ {displaystyle varphi } .

Припишем каждому прообразу регулярной точки число + 1 {displaystyle +1} , если отображение φ {displaystyle varphi } в этой точке сохраняет ориентацию и − 1 {displaystyle -1} в противном случае. Тогда сумма чисел всех прообразов регулярной точки называется степенью отображения.

Применив лемму Сарда можно доказать, что степень отображения не зависит от выбора регулярной точки. Следовательно, данное определение корректно.

Свойства

• Степень отображения не изменяется при гомотопии (непрерывном изменении) отображения и, таким образом, является гомотопическим инвариантом отображения.