Бином Ньютона

Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

( a + b ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k = ( n 0 ) a n + ( n 1 ) a n − 1 b + ⋯ + ( n k ) a n − k b k + ⋯ + ( n n ) b n {displaystyle (a+b)^{n}=sum _{k=0}^{n}{inom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}={n choose 0}a^{n}+{n choose 1}a^{n-1}b+dots +{n choose k}a^{n-k}b^{k}+dots +{n choose n}b^{n}}

где ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! = C n k {displaystyle {n choose k}={frac {n!}{k!(n-k)!}}=C_{n}^{k}} — биномиальные коэффициенты, n {displaystyle n} — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Примеры.

( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5 {displaystyle {egin{aligned}(x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2}[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}[8pt]end{aligned}}}

Доказательство

Доказательство

Докажем формулу бинома Ньютона индукцией по n:

База индукции: n = 0 {displaystyle n=0}

( a + b ) 0 = 1 = ( 0 0 ) a 0 b 0 {displaystyle (a+b)^{0}=1={inom {0}{0}}a^{0}b^{0}}

Шаг индукции: Пусть утверждение для n {displaystyle n} верно:

( a + b ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k {displaystyle (a+b)^{n}=sum _{k=0}^{n}{n choose k}a^{n-k}b^{k}}

Тогда надо доказать утверждение для n + 1 {displaystyle n+1} :

( a + b ) n + 1 = ∑ k = 0 n + 1 ( n + 1 k ) a n + 1 − k b k {displaystyle (a+b)^{n+1}=sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} choose k}a^{n+1-k}b^{k}}

Начнём доказательство:

( a + b ) n + 1 = ( a + b ) ( a + b ) n = ( a + b ) ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k = ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k + 1 b k + ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k + 1 {displaystyle (a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)sum _{k=0}^{n}{n choose k}a^{n-k}b^{k}=sum _{k=0}^{n}{n choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}quad +quad sum _{k=0}^{n}{n choose k}a^{n-k}b^{k+1}}

Извлечём из первой суммы слагаемое при k = 0 {displaystyle k=0}

∑ k = 0 n ( n k ) a n − k + 1 b k = a n + 1 + ∑ k = 1 n ( n k ) a n − k + 1 b k {displaystyle sum _{k=0}^{n}{n choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}=a^{n+1}+sum _{k=1}^{n}{n choose k}a^{n-k+1}b^{k}}

Извлечём из второй суммы слагаемое при k = n {displaystyle k=n}

∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k + 1 = b n + 1 + ∑ k = 0 n − 1 ( n k ) a n − k b k + 1 = b n + 1 + ∑ k = 1 n ( n k − 1 ) a n − k + 1 b k {displaystyle sum _{k=0}^{n}{n choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+sum _{k=0}^{n-1}{n choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+sum _{k=1}^{n}{n choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}}

Теперь сложим преобразованные суммы:

a n + 1 + ∑ k = 1 n ( n k ) a n − k + 1 b k + b n + 1 + ∑ k = 1 n ( n k − 1 ) a n − k + 1 b k = a n + 1 + b n + 1 + ∑ k = 1 n ( ( n k ) + ( n k − 1 ) ) a n − k + 1 b k = {displaystyle a^{n+1}+sum _{k=1}^{n}{n choose k}a^{n-k+1}b^{k}quad +quad b^{n+1}+sum _{k=1}^{n}{n choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}=a^{n+1}+b^{n+1}+sum _{k=1}^{n}left({n choose k}+{n choose {k-1}} ight)a^{n-k+1}b^{k}=} = ∑ k = 0 0 ( n + 1 k ) a n + 1 − k b k + ∑ k = n + 1 n + 1 ( n + 1 k ) a n + 1 − k b k + ∑ k = 1 n ( n + 1 k ) a n + 1 − k b k = ∑ k = 0 n + 1 ( n + 1 k ) a n + 1 − k b k {displaystyle =sum _{k=0}^{0}{n+1 choose k}a^{n+1-k}b^{k}quad +quad sum _{k=n+1}^{n+1}{n+1 choose k}a^{n+1-k}b^{k}quad +quad sum _{k=1}^{n}{n+1 choose k}a^{n+1-k}b^{k}=sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} choose k}a^{n+1-k}b^{k}}

Что и требовалось доказать. ■

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции ( 1 + x ) r {displaystyle (1+x)^{r}} в ряд Тейлора:

( 1 + x ) r = ∑ k = 0 ∞ ( r k ) x k {displaystyle (1+x)^{r}=sum _{k=0}^{infty }{r choose k}x^{k}} ,

где r может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

( r k ) = 1 k ! ∏ n = 0 k − 1 ( r − n ) = r ( r − 1 ) ( r − 2 ) ⋯ ( r − ( k − 1 ) ) k ! {displaystyle {r choose k}={1 over k!}prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={frac {r(r-1)(r-2)cdots (r-(k-1))}{k!}}}

При этом ряд

( 1 + z ) α = 1 + α z + α ( α − 1 ) 2 z 2 + . . . + α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! z n + . . . {displaystyle (1+z)^{alpha }=1+alpha {}z+{frac {alpha (alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{frac {alpha (alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...} .

сходится при | z | ≤ 1 {displaystyle |z|leq 1} .

В частности, при z = 1 m {displaystyle z={frac {1}{m}}} и α = x ⋅ m {displaystyle alpha =xcdot m} получается тождество

( 1 + 1 m ) x m = 1 + x + x m ( x m − 1 ) 2 m 2 + . . . + x m ( x m − 1 ) ⋯ ( x m − n + 1 ) n ! m n + … . {displaystyle left(1+{frac {1}{m}} ight)^{xm}=1+x+{frac {xm(xm-1)}{2;m^{2}}}+...+{frac {xm(xm-1)cdots (xm-n+1)}{n!;m^{n}}}+dots .}

Переходя к пределу при m → ∞ {displaystyle m o infty } и используя второй замечательный предел lim m → ∞ ( 1 + 1 m ) m = e {displaystyle lim _{m o infty }{left(1+{frac {1}{m}} ight)^{m}}=e} , выводим тождество

e x = 1 + x + x 2 2 + ⋯ + x n n ! + … , {displaystyle e^{x}=1+x+{frac {x^{2}}{2}}+dots +{frac {x^{n}}{n!}}+dots ,}

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k j ⩾ 0 k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) x 1 k 1 … x m k m , {displaystyle (x_{1}+x_{2}+cdots +x_{m})^{n}=sum limits _{k_{j}geqslant 0 atop k_{1}+k_{2}+cdots +k_{m}=n}{n choose k_{1},k_{2},ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}ldots x_{m}^{k_{m}},}

где ( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {displaystyle extstyle {inom {n}{k_{1},k_{2},ldots ,k_{m}}}={frac {n!}{k_{1}!k_{2}!cdots k_{m}!}}} — мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам k j {displaystyle k_{j}} , сумма которых равна n (то есть по всем композициям числа n длины m). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения x j 0 = 1 {displaystyle x_{j}^{0}=1} , даже если x j = 0 {displaystyle x_{j}=0} .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по n, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При m = 2 {displaystyle m=2} , выражая k 2 = n − k 1 {displaystyle k_{2}=n-k_{1}} , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть B n ( a s ) = B n ( a 1 , … , a n ) {displaystyle B_{n}(a_{s})=B_{n}(a_{1},dots ,a_{n})} и B 0 = 1 {displaystyle B_{0}=1} ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

B n ( a s + b s ) = ∑ i + j = n ( n i ,   j ) B i ( a s ) B j ( b s ) . {displaystyle B_{n}({{a_{s}}+{b_{s}}})=sum _{i+j=n}{n choose i, j}{B_{i}}({a_{s}}){B_{j}}({b_{s}}).}

История

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».