Эрмитова форма

Эрмитова форма

14.12.2020


Эрмитова форма — естественный аналог понятия симметричной билинейной формы для комплексных векторных пространств. Для эрмитовых форм верны аналоги многих свойств симметрических форм: приведение к каноническому виду, понятие положительной определенности и критерий Сильвестра.

Определение

Эрмитова форма — это полуторалинейная форма f ( x , y ) {displaystyle f(x,y)} от двух векторов векторного пространства V {displaystyle V} над полем C {displaystyle mathbb {C} } со значениями в этом поле, обладающая свойством симметричности :

f ( x , y ) = f ( y , x ) ¯     ∀ x , y ∈ V . {displaystyle f(x,y)={overline {f(y,x)}} forall x,yin V.}

Таким образом, полный набор условий, определяющих эрмитову форму, состоит в следующем:

  • f ( x 1 + x 2 , y ) = f ( x 1 , y ) + f ( x 2 , y )     ∀ x i , y ∈ V , {displaystyle f(x_{1}+x_{2},y)=f(x_{1},y)+f(x_{2},y) forall x_{i},yin V,}
  • f ( α x , y ) = α f ( x , y )     ∀ x , y ∈ V ,   α ∈ C . {displaystyle f(alpha x,y)=alpha f(x,y) forall x,yin V, alpha in mathbb {C} .}
  • f ( x , y 1 + y 2 ) = f ( x , y 1 ) + f ( x , y 2 )     ∀ x , y i ∈ V , {displaystyle f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2}) forall x,y_{i}in V,}
  • f ( x , α y ) = α ¯ f ( x , y )     ∀ x , y ∈ V ,   α ∈ C , {displaystyle f(x,alpha y)={overline {alpha }}f(x,y) forall x,yin V, alpha in mathbb {C} ,}
  • f ( x , y ) = f ( y , x ) ¯     ∀ x , y ∈ V . {displaystyle f(x,y)={overline {f(y,x)}} forall x,yin V.}

Свойства

Из условия эрмитовой симметричности немедленно вытекает факт вещественности величины f ( x , x ) {displaystyle f(x,x)} . При этом (вещественнозначная) функция ϕ ( x ) = f ( x , x ) {displaystyle phi (x)=f(x,x)} на комплексном векторном пространстве V называется квадратично-эрмитовой. Имеет место и обратный факт, который может быть сформулирован как критерий того, что полуторалинейная форма является эрмитовой:

В случае выполнения дополнительного условия

f ( x , x ) > 0       ∀ x ≠ 0 {displaystyle f(x,x)>0 forall x eq 0}

эрмитова форма f(x,y) и квадратично-эрмитова функция ϕ ( x ) {displaystyle phi (x)} называются положительно определёнными.