Уравнения Дена — Соммервиля

Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.

Формулировка

Для данного простого n {displaystyle n} -мерного многогранника P {displaystyle P} обозначим через f k {displaystyle f_{k}} количество граней P {displaystyle P} размерности k {displaystyle k} ; в частности, f n = 1 {displaystyle f_{n}=1} . Рассмотрим формальную сумму

∑ k f k ⋅ ( t − 1 ) k = ∑ k h k ⋅ t k {displaystyle sum _{k}f_{k}cdot (t-1)^{k}=sum _{k}h_{k}cdot t^{k}}

где h k = ∑ i ⩾ k f i ( − 1 ) i − k ( i k ) {displaystyle h_{k}=sum _{igeqslant k}f_{i}(-1)^{i-k}{inom {i}{k}}} , то есть коэффициенты h k {displaystyle h_{k}} возникают естественным образом при раскрытии скобок левой суммы.

Тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид

h k = h n − k {displaystyle h_{k}=h_{n-k}}

для каждого целого k {displaystyle k} .

Связанные определения

• Последовательность ( f 0 , f 1 , … , f n ) {displaystyle (f_{0},f_{1},dots ,f_{n})} называется f-вектором многогранника.
• Последовательность ( h 0 , h 1 , … , h n ) {displaystyle (h_{0},h_{1},dots ,h_{n})} называется h-вектором многогранника.
  • Если ℓ : R n → R {displaystyle ell colon mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} } — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника P {displaystyle P} лежат на разных уровнях ℓ {displaystyle ell } , тогда h k {displaystyle h_{k}} равно числу вершин P {displaystyle P} индекса k {displaystyle k} ; то есть ровно k {displaystyle k} рёбер из этой вершины идут вниз по ℓ {displaystyle ell } . Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой ℓ {displaystyle ell } на − ℓ {displaystyle -ell } .
    • В дополнении получаем h k ⩾ 0 {displaystyle h_{k}geqslant 0} для любого k {displaystyle k} , это даёт нетривиальные неравенства на f {displaystyle f} -вектор.

История

В размерности 4 и 5 соотношения были описаны Максом Деном. В общем случае уравнения были описаны Дунканом Сомервилем в 1927.