Асимптотическое разложение

Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда приближает (аппроксимирует) функцию f(x) в окрестности некоторой (возможно, бесконечно удалённой) её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения и ряды играют важную роль в различных задачах математики, механики и физики.

Определение

Пусть функции φ n {displaystyle varphi _{n}} удовлетворяют свойству: φ n + 1 ( x ) = o ( φ n ( x ) )   ( x → L ) ∀ n ∈ N {displaystyle varphi _{n+1}(x)=o(varphi _{n}(x)) (x ightarrow L)quad forall nin mathbb {N} } для некоторой предельной точки L {displaystyle L} области определения функции f(x). Последовательность функций φ n {displaystyle varphi _{n}} , удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: ∑ n = 0 ∞ a n φ n ( x ) {displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}varphi _{n}(x)} , для которого выполняются условия : f ( x ) − ∑ n = 0 N − 1 a n φ n ( x ) = O ( φ N ( x ) )   ( x → L ) {displaystyle f(x)-sum _{n=0}^{N-1}a_{n}varphi _{n}(x)=O(varphi _{N}(x)) (x ightarrow L)}

или эквивалентно:

f ( x ) − ∑ n = 0 N − 1 a n φ n ( x ) = o ( φ N − 1 ( x ) )   ( x → L ) . {displaystyle f(x)-sum _{n=0}^{N-1}a_{n}varphi _{n}(x)=o(varphi _{N-1}(x)) (x ightarrow L).}

называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:

f ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ a n φ n ( x )   ( x → L ) . {displaystyle f(x)sim sum _{n=0}^{infty }a_{n}varphi _{n}(x) (x ightarrow L).}

Отличие сходящегося ряда и асимптотического разложения для функции f ( x ) {displaystyle f(x)} можно проиллюстрировать так: для сходящегося ряда при любом фиксированном x {displaystyle x} ряд сходится в значение f ( x ) {displaystyle f(x)} при N → ∞ {displaystyle N ightarrow infty } , тогда как при асимптотическом разложении при фиксированном N {displaystyle N} ряд сходится в значение f ( x ) {displaystyle f(x)} в пределе x → L {displaystyle x ightarrow L} ( L {displaystyle L} может быть и бесконечным).

Асимптотическое разложение Эрдейи

Асимптотическое разложение Эрдейи имеет более общее определение. Ряд ∑ n = 0 ∞ a n φ n ( x ) {displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}varphi _{n}(x)} называется асимптотическим разложением Эрдейи функции f (x), если существует такая асимптотическая последовательность ψ n {displaystyle psi _{n}} , что

f ( x ) − ∑ n = 0 N a n φ n ( x ) = o ( ψ N ( x ) )   ( x → L ) . {displaystyle f(x)-sum _{n=0}^{N}a_{n}varphi _{n}(x)=o(psi _{N}(x)) (x ightarrow L).}

Этот факт записывается в следующем виде:

f ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ a n φ n ( x )   ( x → L ) { ψ n ( x ) } . {displaystyle f(x)sim sum _{n=0}^{infty }a_{n}varphi _{n}(x) (x ightarrow L)quad {psi _{n}(x)}.}

Такое обобщённое разложение имеет много общих свойств с обычным асимптотическим разложением, однако теория такого разложения плохо изучена, часто мало полезна для числовых вычислений и редко используется.

Примеры

• Гамма-функция

e x x x 2 π x Γ ( x + 1 ) ∼ 1 + 1 12 x + 1 288 x 2 − 139 51840 x 3 − ⋯   ( x → ∞ ) {displaystyle {frac {e^{x}}{x^{x}{sqrt {2pi x}}}}Gamma (x+1)sim 1+{frac {1}{12x}}+{frac {1}{288x^{2}}}-{frac {139}{51840x^{3}}}-cdots (x ightarrow infty )}

• Интегральная показательная функция

x e x E 1 ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! x n   ( x → ∞ ) {displaystyle xe^{x}E_{1}(x)sim sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}} (x ightarrow infty )}

• Дзета-функция Римана

ζ ( s ) ∼ ∑ n = 1 N n − s − N 1 − s s − 1 − 1 2 N − s + N − s ∑ m = 1 ∞ B 2 m s 2 m − 1 ¯ ( 2 m ) ! N 2 m − 1 {displaystyle zeta (s)sim sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{frac {N^{1-s}}{s-1}}-{frac {1}{2}}N^{-s}+N^{-s}sum _{m=1}^{infty }{frac {B_{2m}s^{overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}}
где B 2 m {displaystyle B_{2m}} — числа Бернулли и s 2 m − 1 ¯ = s ( s + 1 ) ( s + 2 ) ⋯ ( s + 2 m − 2 ) {displaystyle s^{overline {2m-1}}=s(s+1)(s+2)cdots (s+2m-2)} . Это разложение справедливо для всех комплексных s.

• Функция ошибок

π x e x 2 e r f c ( x ) ∼ 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! n ! ( 2 x ) 2 n . {displaystyle {sqrt {pi }}xe^{x^{2}}{ m {erfc}}(x)sim 1+sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n}{frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.}

• Примером асимптотического разложения Эрдейи, которое не является обычным разложением, служит:

sin ⁡ ( x ) x ∼ ∑ n = 0 ∞ n ! e − ( n + 1 ) x / 2 n ( log ⁡ x ) n ( x → ∞ )   { ( log ⁡ x ) − n } . {displaystyle {frac {sin(x)}{x}}sim sum _{n=0}^{infty }{frac {n!e^{-(n+1)x/2n}}{(log x)^{n}}}quad (x ightarrow infty ) {(log x)^{-n}}.}